HEC 2007 mathematiques 3 classe prepa hec (eco)

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6H.E.C. 2007´OPTION : ECONOMIQUE´MATHEMATIQUES IIILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es `a encadrer dans{a mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.EXERCICE3 31. On consid`ereR muni de sa base canonique (e ,e ,e ); soit t l’endomorphisme deR , dont la1 2 3matrice associ´ee T relativement a` cette base s’´ecrit : 1 1 1 T = 0 1 00 1 0Calculer les valeurs propres de t. D´eterminer les sous-espaces propres de t associ´es, et donnerune base de chacun d’entre eux.L’endomorphisme t est-il diagonalisable? Est-il bijectif?L’objet des questions suivantes est une g´en´eralisation des r´esultats pr´ec´edents.∗ 2n+12. Soit n un entier de N . On consid`ere l’espace vectoriel R 1 muni de sa base canonique2n+1(e ,e ,··· ,e ). Soit t l’endomorphisme deR d´efini par :1 2 2n+1– pour tout entier i de [1,2n+1], avec i = n+1 : t(e ) = e ;i 1– t(e ) = e +e +···+e .n+1 1 2 2n+1a) D´eterminerlamatriceT associ´eea`l’endomorphismetrelativementa`labase(e ,e ,··· ,e )1 2 2n+1b) D´ le rang de t, ainsi que la dimension du noyau de t.c) Justifier que 0 est valeur propre de t. D´eterminer la dimension du ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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H.E.C. 2007 ´ OPTION : ECONOMIQUE ´ MATHEMATIQUES III
Lapre´sentation,lalisibilit´e,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapre´cisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvite´sa`encadrerdans{se´ratluedstrueledurosupblsieselsecsaalmculs. Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument:lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel e´lectroniqueestinterdite. Seulelutilisationduner`eglegradu´eeestautorise´e.
EXERCICE 3 3 1.Onconsid`ereRmuni de sa base canonique (e1, e2, e3soit) ;tl’endomorphisme deR, dont la matriceassocie´eTlernemevitat`acettebases´ercti:   1 1 1   T= 01 0 0 1 0
Calculer les valeurs propres detedseelssnireetmrD.e´roprcespespaous-te,se´icossarneontd une base de chacun d’entre eux. L’endomorphismet?? Est-il bijectifest-il diagonalisable Lobjetdesquestionssuivantesestuneg´ene´ralisationdesre´sultatspr´ece´dents. 2n+1 2. Soitnun entier deNleepscaveceotir.Onconsid`erleR1 muni de sa base canonique 2n+1 (e1, e2,∙ ∙ ∙, e2n+1). Soittl’endomorphisme deR´diner:pa – pourtout entieride [1,2n+ 1],aveci6=n+ 1 :t(ei) =e1; t(en+1) =e1+e2+∙ ∙ ∙+e2n+1. a)D´eterminerlamatriceTehismmorpendoee´ila`acosstre(sealabtna`evemalite1, e2,∙ ∙ ∙, e2n+1) b)De´terminerlerangdet, ainsi que la dimension du noyau det. c) Justifier que 0 est valeur propre detetmrD.e´ladiineriondmensse-suosuporpecapre associ´e`alavaleurpropre0,ainsiquunebasedecesous-espace. 2n+1 3. Montrerque Im(tt)Im (t(Im`u,o)unudegamilengis´e)dehismmorpendoudeR ˜ ˜ 4. Soittsluneim(rImodnhproemsie´dt) par : pour toutxde Im(t),t(x) =t(x)  P2n+1 ´ ´˜ Etablir queB=e1, ei(constitue une base de Imtlamarireeeea`sastorcii´c.cE)t i=1 relativementa`labaseB 5. a)Soitλune valeur propre non nulle det, etxvecteurpunco´i`eaorrpaessλ. Montrer que x(mIpaapeitra`tnt). b)Ende´duiretouteslesvaleurspropresdet. L’endomorphismetest-il diagonalisable?
` PROBLEME Touteslesvariablesal´eatoiresquiinterviennentdansceproble`mesontconside´re´escommed´eniessur desespacesprobabilis´esnonn´ecessairementidentiques,maisqui,parsoucidesimplication,seront tousnote´s(Ω,A,P)
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Partie I 1 −|x| 1.Onconside`relafonctiong´deurniesRpar :g(x) =×e 2 R R 0 +a)Montrerquelesint´egralesg(x)dxetg(x)dxeestodnetmcˆoenmvergentes −∞0 valeur. ´ b) Etablirquegr´esubabotilie´tirpednetunsdeesR. SoitYotri´laelbaeraaiunevtnattemdaselleer´rseualave`geruopedsntie´O.dntiuqYsuit la loi L(0). ´ 2. Etudierles variations degsentpr´engraatiolaulrelasereredt´orppraeadeuqihpnalpelsnetactr a`unrep`ereorthonorme´. 3. a)Montrer, pour toutrdeN, l’existence du momentmr(Y) d’ordreraravelderiotae´laelbai Y. b) Calculer,pour toutrdeN,mr(Y) en fonction der.leuQssletlonvaesurledsleepse´arcne E(Y) et de la varianceV(Yled)lbairavatoeal´eaeirY? 4.a)De´terminerlafonctionder´epartitionGdeY. ´ b) EtablirqueGest une bijection deRsur ]0;1[. 1 c)Montrerquel´equationG(x.amretrenioel´endtiluquonnuqieuosdaemuten)= 2 ´ d)Etablirquelafonctionqui,`atoutr´eelxassocieG(x) (1G(x)), est paire. 1 5.a)Montrerquelapplicationr´eciproqueGdeGienr:pasee´dt ln (2x) si0< x1/2 1 G(x) = ln (2 (1x)) si1/2x <1
´ b)EcrireunefonctionPascaldontlen-teˆteestLaplacequi permet de simuler la loiL(0). On rappelle que la fonctionrandompermet de simuler en Pascal une loi uniforme sur ]0;1[. 6. Pourtout entierndeNofcnitnoon,nsco`eidlaregnepar:´dein   n|x| gn(x) =g(x+) 1xe
Montrer quegnsnede´tirpedbaboitilsu´erd´enituneR. Pour toutndeNargnepe´iso,dnYnae´laelbdederiotet´sienariaunevgn, et on noteGnla fonction der´epartitiondeYn. 1 ´ 7.a)Etablirpourtoutre´elx, la majoration suivante :|Gn(x)G(x)| ≤×G(x) ne b)Ende´duirequelasuitedevariablesale´atoires(Yn) convergeen loi vers la loiL(0) n1
Partie II Soitθnuonncliet`marapnuee´rerteXnsit`adendit´e.Oellairbaioere´tavaneuequXsuit la loiL(θ), −|xθ| e siunedensite´fdeXtp:uotruonn´eeparestdox´ree,lf(x) = 2 Soitn2(reunid`econsl.Onerutanreitnenuntnliocle(anh)1´-+X1, X2,∙ ∙ ∙, X2n+1) de variables ale´atoiresre´ellesinde´pendantesetdemˆemeloiL(θ) 1.a)D´eterminerlafonctiondere´partitionFreatoial´eableladerivaX.
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b)End´eduirequelavariableale´atoire(Xθ) suit la loiL´en(0)dnslaieda.Ieitrap c)Calculerlesp´eranceetlavariancedelavariableale´atoireX. d)Re´soudrele´quationF(x) = 1/2 2. Soitxuotuotre´P.elxnr´euide [[1,2n+ 1]], on noteZiae´laelbairavalriotBedeonreillulltee que P(Zi(= 1) = PXix) ´ a)Etablirlind´ependancedesvariablesale´atoiresZ1, Z2, . . . , Z2n+1 P 2n+1 b) SoitS2n+1ienr:pairto´eedarialavl´eableaS2n+1=Zi.Quelle est la loi de proba-i=1 bilite´deS2n+1? Pr´eciserlespe´ranceetlavariancedeS2n+1. P 12n+1 3. OnposeX2n+1=Xi i=1 2n+ 1 a) MontrerqueX2n+1esteupsdaibitr`eamaramitsenusnasruetθ b) Calculerle risque quadratique deX2n+1enθ.
Partie III Lecontextedecettepartieestidentiquea`celuidelapartiepre´c´edente. Pour toutωsiastnelrordceordonnepar,onr´eorΩed´esrselX1(ω), X2(ω),∙ ∙ ∙, X2n+1(ω), et on b bb bb noteX1(ω), X2(ω),∙ ∙ ∙, X2n+1(ωd-a`qerieuseonl)asnibmerng´esiraest-s,cX1(ω)X2(ω)b bb b ∙ ∙ ∙X2n+1(ω.)nO´deinatinsi(2nesirtoeal´sale+1)variabX1, X2(ω),∙ ∙ ∙, X2n+1, telles que b bb X1X2∙ ∙≤ ∙X2n+1qentunrtucouitinsnemeraptrae´gnarissantdeordrecroselae´taivoserraasilb h i b bb X1, X2,∙ ∙ ∙, X2n+1. On admet que PX1< X2<∙ ∙ ∙< X2n+1= 1. b Onsinte´ressedanscettepartie`alavariableale´atoireXn+1. h i b 1.a)Pourtoutr´eelx:ene´entmeuissntvagelatie´nert´eve,justierl´Xn+1x= [S2n+1n+ 1]. b b b)End´eduirelafonctiondere´partitionFn+1deXn+1en fonction deF(on exprimera cette fonctionsousformedunesommequelonnechercherapasa`calculer).   b bb 2. Onnotefn+1ue´edsntienedXn+1, etgbn+1´eitdedensuneXn+1θ.    2n+1 2n+1 ´ a) Etablirpour toutj2de [[0;n(e:]],le´agil´tseiuavtnj= (2+ 1)nj+ 1). j+1j b)End´eduire,pourtoutxr:tli,e´´eg´ellea (2n+ 1)!n n b fn+1(x() =F(x)) (1F(x))f(x) 2 (n!) ´ c) Etablir,pour toutxuivante:galit´esee,lle´´r (2n+ 1)! n n gbn+1(x() =G(x)) (1G(x))g(x) 2 (n!) o`ugetGtee´no´tinse´depalansdaI.iert b d) Enutilisant la question I.4.d), montrer queXn+1etsnudsiarapue`maerttiestemasaurbins θ.   b 3.Danscettequestion,one´tudielecomportementdelasuiteXn+1, lorsquentend vers nN +.   b b Ond´esigneparhn+12reoiatedsntie´uenableal´edelavarin+ 1Xn+1θ.
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