INSEEC 2001 concours Maths

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INSEEC 2001 concours Maths

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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INSEEC MATHEMATIQUES 1`ere´epreuve(optiontechnologique)
Lescandidatsnedoiventpasfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautorise´e.
Exercice 1 Onconside`relesmatrices:     1 0 01 0 01 1 01 1 0     I= 01 0A= 65 6B= 22 2etP= 1 0 2 0 0 133 4101 11 1
Partie A 1. 2 (a)D´eterminerdeuxr´eelsaetbtels que :A=aA+bI 1 (b)Ende´duirequeAest inversible et exprimerAen fonction deAet deI. 2. (a) CalculerI+ 3B. 2 (b) ExprimerAen fonction deIet deB. 3. (a)Montrerparre´currencequilexisteunesuite(un)nNtelle que : n nN, A=I+unB (On montrera quenN, un+1=2un+ 3) (b) Calculerunen fonction den n (c)Ende´duireles9termesdelamatriceA .
Partie B 1 1.Enutilisantlame´thodedupivotdeGauss,montrerquePest inversible et calculerP. Onindiqueratouslesde´tailssurlacopie. 1 2. Calculerla matriceD=P AP. 3. n (a) CalculerDpour tout entier natureln. n n1 (b)Ve´rierparre´currenceque:nN, A=P DP. n (c) RetrouveralorsA.
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Exercice 2 Onconside`relafonctionf´rtuleed´eniepourtoxpar : x f(x) =xesix>0 f(x) = 0six <0 1. ´ (a) Etudierles variations def. (b)D´eterminerlalimitedefen +eiehcnnnirlseraabpr;ci´e (c) Dresserle tableau de variation defpiucsedesr´epervetitaenriurtsnobruocalef. 1 On prendra= 0,37 e 2. (a) Soitaonparparties,calcnualuetrenni´tgearitsipof;tiutenisilee´rrtsletcitnemunI(a) = a Z f(x)dx. 0 (b)De´terminerlalimitedeI(a) lorsqueatend vers +. 3. (a)V´erierquefseltis´tdanetaioeriravenue´laelbabaroepededt´libiX. (b)Calculerlesp´eranceE(X) deX.
Exercice 3 Unorganismedevoyagesfaitunee´tudesurlechoixdesvacances.CechoixportesurlaFranceetl´etranger. 3 1 Aud´epart,chaqueclientchoisitlaFranceaveclaprobabilite´etle´trangeraveclaprobabilit´e. 4 4 3 i`eme Si lanarFa,ecnohcalisiitilde´eprlaabobFaarcnlehcioislruivanteeann´ees.tse´,eanneitnellc 4 1 ie`me Si lan.tes´neelnanaetusviisirechoancelaFraacntiecllee,´enngnretearli´ohsit´edbiliroba,lap 2 i`eme On noteFnmene´ve´lceltnelcnleaientachoisilaFranteeanne´ρnde´t´lee´veemenaplbarolibitnFn. 1. Exprimerρen fonction deρ. n+1n 2.De´terminerlexpressiondeρen fonction denrlimte´determineρ. n n n+
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