INSEEC 2002 mathematiques classe prepa hec (ecs)

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INSEECMATHEMATIQUES1`ere ´epreuve (option scientifique)Les candidats ne doivent pas faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.1 Exercice 1Soit n∈N. On se propose d’´etudier l’existence et les propri´et´es des polynˆomes P (X) tels que :n 1 1n∀t∈C−{0}, P t+ =t + (relation 1)n nt t1.(a) Montrer que si P existe alors P est unique.n n12(b) Justifier queP (X) = 2, queP (X) =X et , en d´eveloppant (t+ ) , calculerP (X) v´erifiant0 1 2tla relation (relation 1).2. Montrer par r´ecurrence que : ∀n∈N, P existe etnP (X) =XP (X)−P (X). (relation 2)n+2 n+1 n3. D´eterminer le degr´e de P , son terme de plus haut degr´e et sa parit´e.n4.1(a) Soit θ ∈ R. D´eterminer un complexe non nul t , t ∈ C−{0}, tel que t + = 2 cos(θ) puistcalculer P (2 cos(θ)) en fonction de n et θ.n(b) En d´eduire les racines de P en fonction de n et une factorisation de P dansR[X].n n1n(c) R´esoudre dansC l’´equation t + = 0 et retrouver ainsi le r´esultat pr´ec´edent.nt5.(a) Calculer P (X).5(b) En d´eduire une factorisation de P (X) dansR[X].5 π(c) En comparant cette factorisation et celle obtenue en 4.b) donner les valeurs exactes de cos10 3πet cos .102 Exercice 2 0 −2 1 Soit la matrice M = −2 3 −2 .1 −2 03Le produit scalaire utilis´e dans cet exercice est le produit scalaire canonique surR .1. Justifier que M est diagonalisable.12. ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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INSEEC MATHEMATIQUES 1`ere´epreuve(optionscientique)
Lescandidatsnedoiventpasfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel e´lectroniqueestinterdite. Seulelutilisationduner`eglegradue´eestautorise´e.
1 Exercice1 SoitnNnetsteecpselrpor´edudetrliexiemosei´et´esdespolynˆosopprseOn.Pn(X) tels que :   1 1 n tC− {0}, Pnt+ =t1)+ (relation n t t 1. (a) Montrerque siPnexiste alorsPnest unique. 1 2 (b) JustifierqueP0(X) = 2, queP1(X) =Xloppant(,end´evetet, calculer+ )P2(Xtanierv´) t la relation (relation 1). 2.Montrerparr´ecurrenceque:nN,Pnexiste et Pn+2(X) =X Pn+1(X)Pn(X).(relation 2) 3.D´eterminerledegre´dePnepedshlutdaur´egsteerapae´ti.s,noetmr 4. 1 (a) SoitθRtere.´Dlunnoexenomplruncminet,tC− {0}, tel quet(2 cos+ =θ) puis t calculerPn(2 cos(θ)) en fonction denetθ. (b)End´eduirelesracinesdePnen fonction denet une factorisation dePndansR[X]. 1 n (c)Re´soudredansC´luaeqontit´rcee´edtn.insiler´esultatp0=erteuortarev+ n t 5. (a) CalculerP5(X). (b)End´eduireunefactorisationdeP5(X) dansR[X].   π (c) Encomparant cette factorisation et celle obtenue en 4.b) donner les valeurs exactes de cos  10 3π et cos. 10 2 Exercice2   02 1   Soit la matriceM=2 32 . 12 0 3 Leproduitscalaireutilise´danscetexerciceestleproduitscalairecanoniquesurR. 1. JustifierqueMest diagonalisable. 1
2. Calculerles valeurs propres deMocssesi´.sareoppresacspseuosselte 3 3.D´eterminerunebaseorthogonaledeRdeesprforme´deveceetrupsorMedu´endteamenueriecirt t t Ptelle queP M Psoit diagonale (Psopsdee´alennartseegi´dP). 3 4. OnposeF=V ect((1,2,1)) le sous espace vectoriel deRape´rdnegne(1urteecevrl,2,1) et 3 G=V ect((1,0,1),(1,1,1)) le sous espace vectoriel deRegne´apnerdctveesrl(1rseu,0,1) et (1,1,1). Soitple projecteur surFde directionGetqle projecteur surGde directionF. (a) Justifierquepetqenesrlnemieretd´texuanogohtrosruecteprojtdessonmsseodomprihpq, qpetp+q. 3 (b) Onappelle respectivementAetBles matrices depetqdans la base canonique deR. CalculerAetB. 3 5. Onposefl’endomorphisme deRdont la matrice dans la base canonique estM. (a) Montrerquef= 5.pq. n n (b)Ende´duirefen fonction den,petqpuisMen fonction denpour tout entier natureln.
3 Exercice3 On suppose que l’attente d’un quelconque client aux guichets d’une administration suit une loi exponentielle deparame`treλttnedsaetpmnest´eresdiquel,tnadnepe´dnisuotntsotsenliscdete.lssenudsseuartse Soitnun entier ,n>3. On mesurentemps d’attente choisis au hasard. n 1P ie`me NotonsXile temps d’attente duiclient etMn=Xithrietm´lyaemoeannseuqiecedntemps ni=1 d’attente. Pourlesbesoinsdecertainscalculsnousutiliseronslavaleurapproch´eeΦ(2)=0,anglee´isu`dΦ79o5 fonctiondere´partitiondunevariableale´atoiresuivantlaloinormalecentre´eetre´duite.
3.1 PartieA 1 1. JustifierqueMn.est un estimateur convergent et sans biais de λ 2. (a) Justifierque pournassez grand la loi deMnep.leolniroameeapurenapproch´ut-ˆetre (b) Onsuppose dans cette question queλ>4. Enutilisantcetteapproximationparuneloinormale,e´valuernafin que l’on puisse affirmer 1 avecunrisquederreurinf´erieur`a5%quelonconnaˆıtaucenti`emepre`s. λ 3.2 PartieB 1 On poseYnon se propose dans cette partie de voir si= etYnest , ou non , un estimateur convergent Mn deλ.  1 AppelonsfnetFnititperaalolnoedmaiGamale´tisnedncfolaetr´deonti, n. λ 1 nλ xn1 (On rappelle que six >0,fn(x) =λ ex.) Γ (n) 1. n P (a) Rappelerla loi que suit la variableXipuis calculer en fonction defnsienedt´edenuYn. i=1 (b) Montrerque , sin >erio,1riablava´eatlealYnopnuede`ssra´espeeuetqeenclonaE(Yn) = . n1 2
(c) Montrerque , sin >l,vae2oltbraie´rlaaaeiYnso`spanoleuqceetriannevaedeuV(Yn) = 2 2 n λ . 2 (n1) (n2) 2. (a)Ynest-il un estimateur convergent deλ? Est-il avec ou sans biais? (b)D´eterminer`alaidedeYnun estimateur convergent et sans biais deλ.
Partie C Dans cette partie on suppose que l’on ne connaˆıt pas la loi du temps d’attente des clients. Soitpdeontioropprla.4a`re´prueitesuttensdatemptnnuuqoinestcsil De´terminerunnombrenontceunpetrˆınaerquelopeutarmuduqlenoa`aptrrip0a`,rp40uacevase` moins 95% de chances ne pas se tromper.
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