INSEEC 2002 mathematiques classe prepa hec (ect)

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INSEECMATHEMATIQUES1`ere ´epreuve (option technologique)Les candidats ne doivent pas faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Exercice 1Partie A :Soit la fonction f d´efinie pour ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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INSEEC MATHEMATIQUES 1`ere´epreuve(optiontechnologique)
Lescandidatsnedoiventpasfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautorise´e.
Exercice 1 Partie A : Soit la fonctionfuotrd´tnieouepx´rplee:ra 2x f(x) = (x+ 1)e . Ond´esignepar(C)sacourberepr´esentativedansunrepe`reduplan. 1 On donne= 0,37. e 1. (a) Etudierles limites defen (−∞) et (+). (b) Etudierles branches infinies defeslluentve´eesottpmysaselresice´;pr. 2. (a) Etudierle sens de variation def. (b) Dresserle tableau de variation def. 3. (a)D´eterminerune´equationdelatangente(T(a)`C) au point d’abscisse 1. (b) Construire(C) et (T). (n) 4.Onde´signeparfedem-i`e´eenerivlad´f. (0) (n+1) (n)0 On posef=fet pour tout n entierf= (f) . Enutilisantunraisonnementparr´ecurrence,d´emontrerquilexistetroissuites(an), (bn) et (cn) telles que (n) 2x f(x) = (anx+bnx+cn)e Onpr´eciseraa0, b0, c0et on exprimeraan+1, bn+1, cn+1en fonction dean, bn, cn.
Partie B : Onconsid`erelesmatricescarr´eesdordre3:    1 0 00 00    I1 0= 0, B=2 0 0etA=I+B. 0 0 101 0 2 3k 1. CalculerB ,Br´eciser.PBpourk>3. 2. 1
(a) MontrerqueAest inversible. 1 (b)Enutilisantlam´ethodedupivotdeGauss,calculerlinverseAdeA. 3. (a)Enutilisantunraisonnementparr´ecurrence,montrerquepourtoutentiernatureln, on a : n(n1) n2 A=I+nB+B . 2 n (b) Expliciterles neufs termes deA.   an   4. Pourtout entiern, on poseXn=bn cn (an),(bn) et (cnestroiss)sontlasleinnadsetiue´dspartie Aquestion 4. (a)Ve´rierquepourtoutnpositif,Xn+1=A.Xn. n n (b)Enraisonnantparre´currence,´etablirquepourtoutentiernon a :Xn= (1)A .X0. (c) Donneralors les valeurs dean, bn, cnen fonction den.
Exercice 2 Onconsid`eredeuxpi`ecesdemonnaietruqu´eesM1etM2. 1 Lorsquonlancelapi`eceM1friovade´tiliba`alega´esteeacnaecolnsruqteol,laprob`ecelapiM2, la 3 2 probabilit´edavoirfaceest´egale`a. 9 Oneectueunesuccessiondepartiesdelafa¸consuivante: Alapremi`erepartie,onprendunedesdeuxpi`ecesauhasardetonlancecettepi`ece; silere´sultatestface,onjoueladeuxi`emepartieavecM1, sinon on joue avecM2. ie`me i`eme – Pourtout entiern>1, on joue la (n+ 1)partie avecM1lace`aanoisafunetbonpartie ; ie`me i`eme on joue la (npartie avec+ 1)M2`alaoisboanunetelipnpartie. i`eme On noteUnlpaorabafriovade´tilibla`acenpartie. 1.Enutilisantlaformuledesprobabilite´stotales: (a) Calculerles valeurs deU1etU2. 1 2 (b) Etablirque pour toutn>1 :Un+1=Un+. 9 9 2. CalculerUnen fonction den. ie`me 3. Pourtout entiern>1 on noteXnersataiolae´baelvarilaaale`´ecisonpartie qui prend la valeur i`eme 1siler´esultatdelanpartie est face et 0 sinon. (a)De´terminerlesloisdeprobabilit´edesvariablesale´atoiresX1etX2atncerescerrslleuepc´ueasl math´ematiques. (b)Lesvariablesal´eatoiresX1etX2enepd´inesll-entreitsuj(?setnadse).eponlar´os
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