Intégration sur un intervalle quelconque

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Intégration sur un intervalle quelconque

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Intégration sur un intervalle quelconque Intégrabilité Exercice 1[ 00657 ][correction] Etudier l’existence des intégrales suivantes : 1 a)Z0(1dtt)t b)Z0+t2+lnt1 dt c)Z+0ln(t)etdt Z+0ln(t13+2td)t d) e+ln(1 +t2) )Z−∞1 +t2dt 1 f)Z0+sit2dt n Exercice 2[ 00658 ][correction] Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les paramètres réelsaetb pour que les intégrales suivantes existent : a)Z1+dt ta(t1)b b)Z0+1t+atbdt t c)Z+01ta+etbdt
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Enoncés Exercice 3[ 00659 ][correction] [Intégrales de Bertrand] Pourα βRon étudie la nature de l’intégrale Z+edl(ntt)β tα a) On supposeα >1. Montrer que l’intégrale étudiée converge. b) On supposeα= 1. Calculer Zxtnl(dtt)β e et déterminer pour quelsβRl’intégrale étudiée converge. c) On supposeα <1, en exploitant t −−−−→+tα(lnt)βt+établir que l’intégrale étudiée diverge. Exercice 4[ 00660 ][correction] Condition nécessaire et suffisante surαRpour queR+0ttsαintdtexiste. Exercice 5[ 00661 ][correction] Montrer que les fonctionst7→sintett7→sitntne sont pas intégrables sur[0+[. Exercice 6[ 00663 ][correction] Soitf:R+Rune fonction continue, décroissante et intégrable surR+. a) Montrer queftend vers zéro en+. b) Si on supprime l’hypothèse décroissante, déterminer un exemple de fonctionf continue et intégrable surR+telle quefne tend pas vers zéro en+. Exercice 7[ 03231 ][correction] Soitf: [0+[Rune fonction continue par morceaux. On suppose quefest intégrable. Montrer x+1 Zx x−−+0 f(t) dt
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Exercice 8[ 03232 ][correction] Soitf: [0+[Rune fonction continue par morceaux et décroissante. On suppose quefest intégrable. Montrer xf(x)x−−+0 Exercice 9[ 03238 ][correction] Soitf: [0+[Rcontinue par morceaux et intégrable. Montrer qu’il existe une suite(xn)de réels positifs vérifiant xn+etxnf(xn)0
Exercice 10[ 00662 ][correction] Soitf: [0+[Rde classeC1. On suppose quefetf0sont intégrables sur [0+[. Montrer queftend vers 0 en+. Exercice 11[ 00664 ][correction] Soita]01[. Déterminer la nature de la sériePan. n>0 Exercice 12[ 00665 ][correction] Soitu:RRune fonction de classeC1telle que Z+(1 +x2)u(x)2+u0(x)2dx <+a) Déterminer les limites dex7→xu(x)2en±∞. b) Etablir Z+u0(x)2dxZ+x2u(x)2dx>41Z+u(x)2dx2 Exercice 13[ 02349 ][correction] Etudier l’existence des intégrales suivantes : a)Z+0t1e+t2tdtb)Z10pln(1tt)3dtc)Z+0etdt 1 +d)t+ 2pt2+ 4t+ 1dt Z0e(lnt)2dte)Z0+etarctantdtf)Z+0
Enoncés
Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02829 ][correction] Donner un exemple def∈ C0(R+R+)intégrable et non bornée.
Exercice 15X MP[ 03053 ][correction] Soitf∈ C2(RR)telle quefetf00sont de carrés intégrables. a) Montrer quef0est de carré intégrable. b) Montrer : ZRf0226ZRf2 ZRf002
Exercice 16Mines-Ponts PC[ 00183 ][correction] Etudier l’intégrabilité en 0 de x Z1ettdt f:x7
Exercice 17Centrale PC[ 00572 ][correction] Soitf∈ C2([0+[R). On suppose quefetf00sont intégrables. a) Montrer quef0(x)0quandx+. b) Montrer queff0est intégrable.
Exercice 18[ 03206 ][correction] Soitf: [1+[Rcontinue vérifiant 1 x a>106f(x)6xa2+a2 La fonctionfest-elle intégrable sur[1+[?
Exercice 19[ 03221 ][correction] Etudier l’existence de Z+0ln(tht) dt
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Calculs d’intégrales Exercice 20[ 00666 ][correction] Calculer les intégrales suivantes : a)Z+(td()1+tt 0+ 2) b)Z+dt 0(et+ 1)(et+ 1) c)Z+0ln1 +t12dt d)Z+0e−√tdt )Z+lnt e0(1 +t)2dt Exercice 21[ 00667 ][correction] Calculer les intégrales suivantes : a)R0+ettdt b)R0π2sinxln(sinx)dx c)R10ln1ttdt d)R+0(x+d1x)3x e)R+0∞ √x+1(1+xx)1dx x)131 f)R0+(1x+(1+x)23 dx g)R20π2+cdoxsx h)R2πniss22((xx))+1dx 0 3 co 1xd i)R0xxx2 Exercice 22[ 00668 ][correction] Existence et valeur deI=R+0(1+dtt2)2viau= 1t.
Enoncés Exercice 23[ 00669 ][correction] a) Etablir + I=Z0x3+dx1 =Z0+x3x d+ 1x b) En déduire la valeur deI. Exercice 24[ 00670 ][correction] a) CalculerJ=R0+1t+dtt4. b) EtablirI=R0++1dtt4=R+t2dt 0 1+t4. c) En factorisant1 +t4déterminerI. Exercice 25[ 00671 ][correction] Calculer Z01ln(1x2x2)dx Exercice 26[ 00672 ][correction] a) Justifier l’existence de I=Z10tlnt1dt b) Etablir IZ+ex2x =edx 0x c) En séparant cette dernière intégrale en deux, observer I= lεimZε2εexxdx 0 puis donner la valeur deI. Exercice 27[ 00673 ][correction] [Intégrales d’Euler] On pose π2 I=Z0π2ln(sint)dtetJ=Zln(cost)dt 0 Montrer queIetJsont bien définies et queI=J. CalculerI+Jet en déduire les valeurs deIetJ.
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Exercice 28[ 00674 ][correction] Soientp qRtel quep24q <0. CalculerR+t2+dtpt+q.
Enoncés
Exercice 29[ 00675 ][correction] Soitf:RRune fonction continue telle quelim+f(x) =`xlim−∞f(x) =`0. xCalculer Z+f(t+ 1)f(t) dt −∞ Exercice 30[ 00677 ][correction] Existence et valeur de Z+arctan 2xarctanxdx 0x Exercice 31X MP[ 01334 ][correction] Soient(a b)R2aveca < betf∈ C0(RR)admettant une limite finie`en−∞ et telle queR+0fexiste. Justifier l’existence, puis calculer : Z+(f(a+x)f(b+x)) dx Exercice 32[ 00676 ][correction] a) Justifier l’existence de I=Z0+sitn32tdt Pourx >0, on pose Zx+sitn23tdt I(x) = b) On rappellesin 3a= 3 sina4 sin3a. Etablir que I(x)=34Zx3xsitn2tdt c) En déduire la valeur deI.
Exercice 33[ 02350 ][correction] Calculer les intégrales suivantes : +d a)Zett+ 1b)Z+1dhsttc)Z0+(t2tnl+t1)2dt 0 d)Z+dt+t2e)Z01lnttdt 1t21
Exercice 34Centrale MP[ 02446 ][correction] a) Soitf∈ C1([a b]R). Limite de(Rbaf(t) sin(nt) dt)et(Rbaf(t) cos(nt) dt)? b) Calculer, pournN?, π2sin(2nt) costdt Z0sint (on procédera par récurrence) c) En déduire +sintdt Z0t d) Etudier la limite puis un équivalent de Z0π2ln(2 sin(t2)) cos(nt) dt!
Exercice 35Mines-Ponts MP[ 02824 ][correction] Existence et calcul deR0π2tanθdθ.
Exercice 36Mines-Ponts MP[ 02825 ][correction] Existence et calcul éventuel de Z+1 + (t1+ib)2dt
Exercice 37Mines-Ponts MP[ 02879 ][correction] a) Nature de l’intégrale +sintdt Z0t
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On pose pour tout réelx f(x) =Z+sitntdt x b) Montrer quefest de classeC1surRet exprimer sa dérivée. c) Calculer Z0+f(t) dt Exercice 38X MP[ 02965 ][correction] Calculer tpx Z01pxd1(xx)eZ1(1x) dx 0
Exercice 39X MP[ 02968 ][correction] SoientPetQdansR[X], oùQne s’annule pas surRetdegP6degQ2. ExprimerRRP Ql’aide des coefficients intervenant dans la décomposition enà éléments simple deP Q. Exercice 40X MP[ 02978 ][correction] Soitf:C(RR)intégrable. On pose g:xR?7→f(x1x) Montrer quegest intégrable surR?etR+?et que Z0g(x) dx+Z0+g(xZ+) dx=f(x) dx Exercice 41X MP[ 01333 ][correction] Calculer Z+dx −∞1 +x4+x8 Exercice 42Centrale PC[ 00525 ][correction] Justifier l’existence et calculer +IZ0 =t[1t] dt
Enoncés
Exercice 43[ 03177 ][correction] Calculer I=Z11 +t24dt 01 +t en procédant au changement de variablet= ex .
Exercice 44[ 03222 ][correction] Pour >a b0, calculer +dt I(a b) =Z(t2+a2)(t2+b2)
Exercice 45[ 03237 ][correction] Justifier et calculer Z+dt (1 +t2)(1 +it) Calcul d’intégrales dépendant d’un paramètre Exercice 46[ 00678 ][correction] Calculer, pournN, + In=Z0tnetdt Exercice 47[ 00679 ][correction] Existence et calcul pournNde dx InZ+0(1 +x2)n+1 =
Exercice 48[ 00680 ][correction] Calculer pournN, In=Z10(xlnx)ndx
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Exercice 49[ 00681 ][correction] Calcul deI(a) =R+0(t− btc)eatdtpoura >0.
Exercice 50[ 00682 ][correction] dx On poseJn=R0+(1+x3)n+1. a) CalculerJ0. b) Former une relation de récurrence engageantJnetJn+1. c) Etablir qu’il existeA >0tel queJn3An.
Enoncés
Exercice 51[ 00683 ][correction] Existence et valeur poura >0de I(a) =Z+0sin(t)eatdt Exercice 52[ 00684 ][correction] Poura >0, calculerI(a) =R0+al2n+tt2dtvia le changement de variableu=at. Exercice 53[ 00685 ][correction] Pour quelles valeurs deaR, l’intégrale I(a) =Z0+(1 +t2()dt1 +ta) est-elle définie ? En procédant au changement de variableu= 1t, montrer queI(a) =π4.
Exercice 54[ 00686 ][correction] Soitfune fonction continue et croissante surRtelle quexli+mf(x) =`. a) Poura >0, montrer que l’intégraleR+0f(x+a)f(x) dxest définie et la calculer. b) CalculerR+arctan(x+a)arctan(x) dx. −∞
Exercice 55Mines-Ponts MP[ 02826 ][correction] Calculer Z0+t2nl+ta2dt
a >0.
Exercice 56Mines-Ponts MP[ 02827 ][correction] Trouver une expression simple de Z0π(12xcost+xs2n)(i21t2ycost+y2) dt x y]11[. Fonctions définies par intégrale Exercice 57[ 00687 ][correction] [FonctionΓd’Euler] Pourx >0on note Γ(x) =Z+dt tx1et 0 a) Montrer que cette dernière intégrale est bien définie pour toutx >0. b) Justifier x >1Γ(x) = (x1)Γ(x1) et calculerΓ(n)pournN?.
Exercice 58[ 00688 ][correction] On pose pourf(a) =R+1tad+t1. a) Pour quelles valeurs dea, l’intégrale définissantf(a)existe-t-elle ? b) Montrer que la fonction est décroissante et de limite nulle en+. Exercice 59[ 00689 ][correction] a) Pour quelles valeurs dex, l’intégrale f(x) =Z01t1x+1tdt
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est-elle définie ? b) Etudier la monotonie def. c) Calculer f(x) +f(x+ 1)pourx >0 d) Déterminer la limite defen+ainsi qu’un équivalent. e) Déterminer la limite defen0+ainsi qu’un équivalent. Exercice 60[ 00690 ][correction] Pourx >0, on pose F(x) =Z+ettdt x a) Montrer queF(x)est bien définie pour toutx >0. b) Etablir queFest de classeC1surR+?et calculerF0(x). c) Montrer limxF(x) = 0etxli0m+xF(x) = 0 x+d) Sans exprimerF(x), montrer queR+0F(x) dxest bien définie et calculer celle-ci. Exercice 61[ 00691 ][correction] x On pose, pourx >0 f(x) =R0xeit2dt=R0xcost2dt+iR0sint2dt. 2 a) Montrer que :f(x) =eix2ix+2iR0xeitt221dt. 1 1 En déduire quefadmet une limite notéeλen+. b) On poseg(x) =λf(x). Montrer que pourx >0: g(x) =21iRx+eitt22dteix2. 2ix c) Montrer qu’au voisinage de+:g(x) =e2iixx2+Ox13. Exercice 62[ 00692 ][correction] Soitϕ:R+Rune fonction de classeC1intégrable. a) SoitA >0. Montrer Z0Aϕ(t) cos(xt) dtx−−+0 b) Montrer Z+ϕ(t) cos(xt) dtx+−−0 0
Enoncés
Exercice 63[ 00693 ][correction] Soitg:R+Rcontinue et intégrable. a) Justifier :ε >0MRR+0|g(t)|dtR0M|g(t)|dt6ε. b) En déduire que toute primitive degest uniformément continue. Exercice 64[ 00281 ][correction] Pour toutx[1+[, on pose F(x) =xt Z1t31dt a) Montrer queFest bien définie, continue sur[1+[et de classeCsur ]1+[. ExprimerF0(x). b) Etudier la dérivabilité deFen1. Préciser la tangente au graphe deFen1. c) Etudier la limite deFen+. d) Justifier queFréalise une bijection de[1+[sur un intervalle à préciser et queF1est dérivable sur]0+[et solution de l’équation différentielle yy0=py31. e) Etudier la dérivabilité deF1en0.
Intégrales convergentes Exercice 65[ 02346 ][correction] [Intégrale de Dirichlet] Justifier la convergence de l’intégrale suivante : Z+0sitntdt Exercice 66[ 02383 ][correction] Etablir : Z+0sitntdt=Z+0sitnt2dt Exercice 67[ 00694 ][correction] [Intégrales de Fresnel] Montrer la convergence des deux intégrales suivantes Z+cos(t2) dtetZ+0sin(t2) dt 0
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Exercice 68[ 00695 ][correction] Soitf: [0+[Rcontinue. On suppose que l’intégrale suivante converge : Z+f(t) dt 0 xlim+1xZx tf(t) dt 0
Calculer
Exercice 69[ 02378 ][correction] Soitf: [0+[Rcontinue etα >0. Montrer Z+0f(t) dtconvergeZ0+1f(+tt)αdtconverge
Exercice 70[ 00696 ][correction] Soitf: [0+[Rcontinue. On suppose que pours0R,R0+f(t)es0tdtconverge. Montrer queR0+f(t)estdtconverge pour touts > s0.
Exercice 71Mines-Ponts MP[ 02421 ][correction] Convergence de Z+eit2dt −∞
Exercice 72[ 03178 ][correction] Soitf: [0+[Rune fonction continue par morceaux, décroissante et de limite nulle. Montrer la convergence de l’intégrale Z0+f(t) sin(t) dt
Enoncés
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