INTM 2002 mathematiques

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Problème (1 5 points) -x siIl 712 L,e but de CE problème est de détenniner un équirclent de z ->: t/r. lorsque z tend E== 1 ve~s û par valews positives . "A-= sin t Partie I: Existence de Lit Gt. Pour toux réel -4 posicif, on défni le réel: /c1 j Monirer que pour tous réels Q' et -4 strictenent posiiifs, on a : ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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points)
but
d e
problème
est
d e
un
de
lorsque
1
par
positives
.
Partie
de
Pour
on
le
réel:
j
que
pour
réels
on
a
:
2)
t
-
est
sur tout
3)
En
déduire que,
pour
tout
positif
d u =
-
Montrer en intégrant
par
parties, que
admet une
lorsque
tend vers plus
déduire
que l'application
X
admet
limite
lorsque
X
tend
vers
plus
On
notera
-
dt
cette limite
que
le
réel
limite
on
notera
sin
Partie
II:
Calcul
On
appelle
l'application de
1)
Montrer: en rappelant le
que
peut
-
on dire de
convergence de
la
série
que
:
J
En
déduire des
de
et
pour
p
note pour tout entier
p=
-
n
a)
que:
-
-
(f)
=
-
J
O
b)
En
déduire que:
3
Montrer
à
des questions
que:
sin
t
-
dt
pour
>
O.
Partie
III:
de
la
série
sin
nx
n
pose
1
En
remarquant
que
=
,donner
une
simple
de
(x).
J
En
remarquant que
:
sin
=
-
et en posant
=
O.
montrer
.
.
sin
converge
et
qu'elle
En
déduire que
la
sur tout intervalle
sin
Partie
I
V
:
Ge
lorsque
O
1
t
ives.
.
Soit
x
>
O
montrer, en utilisant la partie
1,
que l'application
sin
admet
une
limite finie lorsque
tend
vers
plus
l'infini'
on
noiera
=
cette limite.
-
-
2)
En
déduire l'expression de
en
fonction
.
entière
-
,
c'est
à
dire
le
l'inégalité:
1
<
(2)
1
Montrer
à
l'aide
la
partie
III
que
:
est
bornée
sur
sin
En
déduire
que
l'application
1
sin
-
dt
En
déduire que l'application
J
,
sin
note pour
tout
>
O
.
=>'
!
a)
Montrer que l'application
b)
que l'applic
3
est
suï
es:
sin
( 2 )
2)
1
c)
que
:
=
d)
Pour tout réel
positif, on note
=
En
appliquant
rie
Taylor
l'ordre
2
n
1
la
fonction
montrer
qu'il
:
Montrer
-
.
en
que
Montrer que l'application
est
bornée
au
voisinage
de
zéro
pour
x
o.
e)
En
que
Exercice
points)
6
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