INTM 2005 mathematiques

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formuleson(surde1j2kpoints.)OnGnotepourE1l'ensembledesSoitfonctionsprimitivepolynômesndeintégral,)Gdansàn1.+On)munitfonctionsEndekladenormeonks'annulek01xdénieTpar2.:en8àfavec2)Esegment,Fk1f!kCalculer1On=nsupdanst12f[k0;un1et]parjGfF(0.tG)enjG:àOnformuleconsidèreavecl'applicationà')dénie1parnxEde!TEintégral,f2.7déduire!xF0telle:quex: F)02=ffet(ZDeuxième1la0nF0(detpar)0dntP=)01:P(1Fb)0fdésigneélémentl'applicationEdérivéeFdeimageF';.)appellePremièrelapartie.de1)quia)enVérierqueExprimer'(est)unefonctioapplicationdede(E)dansl'aideEla.deb)aylorMontrerrestequeappliquée'l'ordreestuneExprimerapplication(linéaire.)2)fonctioa)deMontrer(que)l'ensemblel'aidedeslaréelsdedeaylorlaresteformeappliquéekl'ordre'(Enfque,)toutkdu1[k;f]kj1(,)pour(f(2xE2nxf20kgk,:est)nonNvide'majoré..Onpartie.noteradénitNsuite(P'))'=desuppolynômesf=2+1E:nPf=08g2k,'f(ProblèmeR R6R R>N- page 1101DéterminernPg1I;gPentier2tetpartiePpour3).En2))MontrerUque,Ipourktout)entiersuitenatureldennul.supérieuràou(égal1àà2,gPlan0(le0h)h=IP1n)(où1k)k.dénie3)TMontrerkparentierrécurrence ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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formule son ( sur de 1 j 2 k points. ) On G note pour E 1 l'ensemble  des Soit fonctions primitive polynômes n de intégral, ) G dans à n 1 . + On ) munit fonctions E n de k la de norme on k s'annule k 0 1 x dénie T par 2. : en 8 à f avec 2 ) E segment , F k 1 f ! k Calculer 1 On = n sup dans t 1 2 f [ k 0  ; un 1 et ] par j G f F ( 0. t G ) en j G : à On formule considère avec l'application à ' ) dénie 1 par n  x E de ! T E intégral, f 2. 7 déduire ! x F 0 telle : que x : F ) 0 2 = f f  et ( Z Deuxième 1 la 0 n F 0 ( de t par ) 0 d n t P = ) 0 1 : P ( 1 F b) 0 f désigne élément l'application E dérivée F de image F '; .) appelle Première la partie. de 1) qui a) en Vérier que Exprimer ' ( est ) une fonctio application de de ( E ) dans l'aide E la . de b) aylor Montrer reste que appliquée ' l'ordre est une Exprimer application ( linéaire. ) 2) fonctio a) de Montrer ( que ) l'ensemble l'aide des la réels de de aylor la reste forme appliquée k l'ordre ' ( En f que, ) tout k du 1 [ k ; f ] k j 1 ( , ) pour ( f ( 2 x E 2 n x f 2 0 k g k , : est ) non N vide ' majoré. . On partie. notera dénit N suite ( P ' ) ) ' = de sup polynômes f = 2 +1 E : n P f = 0 8 g 2 k , ' f ( Problème R R 6 R R > N - page 1 1 0 1 Déterminer n P g 1 I ; g P entier 2 t et partie P pour 3 ) . En 2) ) Montrer U que, I pour k tout ) entier suite naturel de n nul. supérieur à ou ( égal 1 à à 2, g P la n 0 ( le 0 h ) h = I P 1 n ) ( où 1 k ) k . dénie 3) T Montrer k par entier récurrence, la que m : : 8 X n P 2 k t: k ; c) 8 fonction x de 2 d d dé , polynômes n h +1 classe X non k par = X 1 Z P k n le +1 par k = ( k x g ) ( k k ! d = ( x la n d n ( ! désigne  fonctions 4) la En 1) utilisant une la entre première I partie, t montrer k que, Déduire pour précédente tout entier entier ou naturel on n m , + k = P ) n ( k g 1 ) ) g 1 ) 2  n I . de 5) . Dans une cette 1 question, t x faisant désigne que un ivées nombre de réel P xé 2) appartenant application à n l'intervalle 1 [ entier 0 on ; U 1 suivante ] = . = a) ` Montrer tout que, naturel la , série dénit entière réel X k P : n k ( ( x ) ) Z t 0 n ( a ) un t ray P on ( de ) convergence t R g ( k x désigne ) dérivée non ­ième nul, e ni et ou P inni. ) b) la Calculer, de pour polynômes t dans 2 deuxième ] : R a) ( rouver x relation ) récurrence ; I R et ( k x pour )[ out , naturel le non produit b) de + question 1 que, X tout n naturel = supérieur 0 égal P 2 n a ( I x = ) 1 t m n k ! 2 ( 1 e k t k 1 0 )  : ( c) 1 En ( déduire ) la ( somme 1 de ( la ) série : entière Exprimer + 1 1 l'aide X la n g = d) 0 déduire P expression n Z ( 0 x ( ) ) t t n intervenir pour ainsi t ses 2 r ] et R suite ( fonctions x ( ) k ; . R Soit ( une x de )[ dans . de T C roisième et partie. un Soit naturel g nul, une dénit application réel de n t l'égalité dans : ( n de n classe ` C 1 1 ( . ) P on our 1) N R 6 R R R R - page 2 k la ` Vérier dérivées que )) : déduire, U faisant n polynômes = ) n Z X d ` la = expression 1 h Z suit ` ` ` ( 1 ( ( t h 0 ( u ` c) ) l'aide h 1 ( partie, t U )) la d que t l . de b) P Montrer 1 que h pour ` tout h entier t naturel d ` = compris 1 entre g 1 ( et ) n u: , En il à existe de une question applica­ de tion troisième g une ` de de n : intervenir dans fonction ) ainsi de ses classe et C a 1 e vériant fonctions : ( Z ( ` a) R R - page 3 G Déterminer par sur 0. 8 diagonalisable, points. M Dans = tout ) l'exercice ' n non désigne 7 u 6 n et entier que nat ( urel la supérieur par ou 7 égal propres. à et 2. M a) n t ( tr ': Déterminer ) Montrer est et l'ensemble = des diagonalisable matrices su carrées M d'ordre nulle n appelle à n coe (  Montrer cients spectre c une o n mplexes, L n ( ( M A n une ( )  de ) ( ; I l'application ) en est M l'ensemble des alors formes = linéaires \ de alors M déduire n si ( n = ; ) On dans nécessaire linéaire . par À 2) toute l'application forme ( linéaire condition non M nulle ) u t de ' M précisera n ses ( On  linéaire ) sur dans Déterminer ' désigne , tion on ( asso 4) cie M l'application ) linéaire u F I u qu'il de M M ( n que, ( matrice : n ) : dans ) lui­même AM dénie : par rang : . (  M de n tr ( . que si ) Im F 0 u est ! M M e) n Ker ( pour 0 ) M A ) 7 ! et t M A M + ( u ) ( et A . ) notera I l'unique n de où forme t non A u désigne l'application la . matrice On transposée ' de dénie A : et M I ( n ) la ! matrice n identité une de A M ! n A ( que M est ) on . son 1) et On sous­espaces dénit 3) l'application considère G forme par u : nulle ( M M ( n ) ( on matrice par ) l'applica­ G dénie ! : L M ( ( M ) n ! ( n la 0. ) A ; ! sur ( ) ) M n 7 Montrer ! existe G matrice ( de M n ) = avec telle G pour ( oute M A ) M ( ( X ) ) = A tr = ( ( M ) X n ) b) pour le toute de matrice X c) de M n fonction ( sante de ) ( : ) (tr d) ( que M Ker X \ ) désigne f la g trace de diagonalisable la tr matrice 6 M 0. X Montrer .) si Montrer q Im ue 6 l'application f G g est tr un = isomorphisme f de En M que n est ( si  seulement ) tr dans antécédent L Exercice C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C - page 4 F  . On suppose 0 dans A cette . question n  où tr 0 M 1 6 = = 0 0 à t . M 0 = la M ) : 1 On . appelle . S 1 n 1 ( @ A . ) . l'ensemble matrice des 0 ma­ ) trices qu' carrées de d'ordre la n base , 0 symétriques, n à ) coe B   cients . complexes. 0 On . appelle . A  n C ( M C  ) B l'en­  semble . des . matrices . carrées . d'ordre 0 n 0 , n antisymétriques, telle à X coe I  En cients existe complexes. base a) n Montrer telle que rice : dans dim soit (  S V n 2 ( n C ( ) U \ B Ker B  )  = 1 n . ( . n . + . 1 . ) . 2 . 1 0 : 0 b) C Montrer C que V : ( S 2 n avec ( B C B ) 0 =  V 0 ect . ( . I . n . ) .  . ( . S . n  ( X C appartenant ) S \ 1 Ker ) que ) ( : 0 c) = Déterminer n A c) n déduire ( il C u ) e \ B Ker M ( . ) d) que En mat déduire de q u ue la l'endomorphisme B F de u forme est U d 0 i  agonalisable, U on M précisera ( ses +1 valeurs 2 propres  et avec ses = sous­espaces B propres. B 6) B On @ suppose 0 dans  cette  question  8 1 < . : . M . 6 . = . 0 0 tr . M . = . 0 . t . M . = . M . : . a) 0 Montrer  que  Ker 0 1 est C stable C par C l'endomorphisme et ' 2 , n en n déduire ) que ( : ) Ker V 0 = B ( B S B n 1 (  C  )  \ 0 Ker 1 . ) .  . ( . A . n . ( . 1 . ) . \ . Ker . . ) . : . b) . Montrer 1 qu'il 0 existe ( une 5) C C C C C C C C C C C C - page 5 CORRIGÉ DE L’ÉPREUVE de MATHÉMATIQUES. Problème. Première partie. ∞1) a) f estdeclasseC surR,f admetdesprimitivesF quisontdesfonctionspolynômes,soit Z Z1 1 G l’unedecesprimitives,onaF =G+k,deplus F t dt= 0entraînek+ G t dt=( ) ( ) 0 0 0, d’où l’unicité deF, ce qui prouve que ϕ est une application deE dansE. b) ϕ est linéaire grâce à la linéarité de l’intégrale. 2) a) 1∈E\{0},doncl’ensembleE\{0}estnonvide.F estcontinuesur[0,1],d’intégralenulle, siF garde un signe constant alorsF = 0, d’où par contraposée, siF est non nulle alors il existe un réelx de [0,1] tel queF (x )= 0.0 0 Zx 2On a F x = f t dt, F x 6 x−x f 6 f car x,x ∈ 0,1 . On en( ) ( ) | ( )| | |k k k k ( ) ([ ])0 0∞ ∞ x0 déduit queN( ϕ) existe et queN( ϕ)6 1. Z x 0G (x)=F (x) b) α) On définit,∀x∈R,G x = F t dt,on obtient( ) ( ) 00G x =f x( ) ( )0 La formule de Taylor donne, Z 0 0 001 G 0 =G x −xG x + −t G t dt.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x β) De même, Z 1 0 002 G 1 =G x − 1−x G x + 1−t G t dt.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 0γ) On sait que G 0 = 0 et G 1 = 0, en effectuant 2 − 1 on obtient: G x =( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z Z1 0 00 00(1−t)G (t)dt− (−t)G (t)dt. x x 00OrG t =f t etf est majoréesur 0,1 par f grâceàlacontinuitédef,cequi( ) ( ) [ ] k k∞ nous donne: Z Z1 1 ∀x∈ [0,1], |F (x)|6kfk (1−t)dt+kfk (−t)dt∞ ∞ x x 1 Par intégration, on en déduit: " # 2 21−x x( ) ∀x∈ [0,1], |F (x)|6kfk +∞ 2 2    2 2 221−x x 1 1 1 1 1( ) 2δ) On a + =x −x+ = x− + , orx∈ [0,1] donc x− 6 2 2 2 2 4 2 4 2 2(1−x) x 1 et + 6 . 2 2 2 ( Z 1f (x)=−11 OnendéduitqueN ϕ 6 .Deplus,sionchoisit ona F x dx=( ) 1 ( ) 2 F x =−x+( ) 0 2 1 00 etF =f,kfk = 1 etkFk = , donc∞ ∞ 2 1 N ϕ = .( ) 2 Deuxième partie. 21 X X 1 1) P = 1,P =X− ,P = − + .0 1 2 2 2 2 12 2) H : P 0 =P 1 ,H est vraie.( ) ( )n n n 2 Z Z1 1 0SupposonsH , ϕ(P )=P ,d’où0= P (x)dx= P (x)=P (1)−P (0),doncn n n+1 n+1 n+2 n+2n+2 0 0 H est vraie.n+1 n+1 nXP (x) xn+1−k3) P :∀x∈R, = .n k! n! k=1 n+2 n+1X X 0P (x) P (x) P = 0n+2−k n+1−k0 0P estvraie,supposonsP .SoitQ x = ,Q x = car( ) ( )0 n n+1 n+1 0P =Pk! k! n+1−kn+2−kk=1 k=1 n n+1x x0D’aprèsP on en déduit,Q x = , doncQ x = +Q 0 .( ) ( ) ( )n n+1 n+1n+1 n! (n+1)! Z Z Zn+21 1 1X1 1 Q x dx= +Q 0 et Q x dx= P x dx( ) ( ) ( ) ( )n+1 n+1 n+1 n+2−k (n+2)! k!0 0 0k=1 Z 1 ˆOr P (x)dx= 0 pourn+2−k> 1 car ϕ(P )=P , on obtient alors (il resten+2−k n+1−k n+2−k 0 un seul terme dans la somme): Z 1 1 Q (x)dx=n+1 n+2 !( )0 DoncQ 0 = 0 etP est vraie.( )n+1 n+1 2 1 1 4) P = 1 , kP k = 1 et N( ϕ) = , on a alors: ∀n > 0, kP k 6 kP k , par une0 0 n+1 n∞ ∞ ∞2 2 récurrence évidente on en déduit que:  n 1 ∀n∈N, P 6k kn 2    n nXt t| | | |n5) a) Soit x ∈ [0,1] fixé, ∀t ∈ R, ∀n ∈ N,|P (x)t | 6 , la série entièren 2 2 X na un rayon de convergence égal à 2 , donc la série entière P (x)t a un rayon den convergence supérieur ou égal à 2, le rayon de convergence de cette série est donc non nul pour toutx réel. X n tb) Soitxfixédans[0,1],t∈ ]−R(x),+R(x)[,lasérieentière P (x)t convergeete −1=n +∞ kXt car le rayon de convergence de cette série entière est plus l’infini, on peut donc k! k=1 appliquer le produit de Cauchy de ces deux séries entières sur ]−R(x),+R(x)[. ! ! +∞ +∞ n +∞X X X XP (x)n−kn t n nOn a , P x t e −1 = t − P x t( ) ( ) ( )n n k! n=0 n=0 k=0 n=0 ! ! n nX XP (t) P (x)n−k n−knt , or d’après la question II)3)on sait que: ∀n> 1, = k! k! k=0 k=0 n−1x P x +( )n (n−1)! ! +∞ +∞ n−1X X tx( ) txn tD’où: P (x)t (e −1)=t =te .n n−1 !( ) n=0 n=1 c) Donc, ! +∞X txten∀t∈ ]−R(x),R(x)[ \{0}, P (x)t =n te −1 n=0 ! +∞X nPourt= 0 alors P (x)t = 1.n n=0 Troisième partie. 01) a) On sait queP =P pourk> 1.En intégrant par partiesI on obtient:k−1 kk !Z 1h i1k (k−1) (k−1)I = −1 g t P t − g t P t dt( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k−1 0 0 Donc, h i k (k−1) (k−1)I = (−1) g (1)P (1)−g (0)P (0) +Ik k k k−1 3 h i k (k−1) (k−1)b) ∀k> 1,I −I = (−1) g (1)P (1)−g (0)P (0) =k k−1 k k m m h iX X k (k−1) (k−1)Or∀m> 2,I −I = (I −I )= (−1) g (1)P (1)−g (0)P (0)m 1 k k−1 k k k=2 k=2 On a vu queP (1)=P (0) ,∀k> 2, ce qui entraîne:k k m h  iX k (k−1) (k−1)I −I = −1 g 1 −g 0 P 0 .( ) ( ) ( ) ( )m 1 k k=2 1 c) En intégrant par parties et en écrivant queP =x− ,on obtient:1 2 ! Z Z1 1 0 11I =− g (t)P (t)dt=− [g(t)P (t)] − g(t)dt , de plusP (0)=− etP (1)=1 1 1 10 20 0 1 , ce qui donne: 2  Z 1 g(0)+g(1) I = g(t)dt− .1 20 d) En utilisant les deux questions précédentes, on obtient: Z   Zm1 h  i 1Xg(0)+g(1) k m(k−1) (k−1) (m)g t dt= + −1 g 0 −g 1 P 0 +−1 g t P t dt( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k m 20 0k=2 2) a) On écrit; !Z Z Zn nk k ‘X X U = h k dt− h t dt = h ‘ −h t dt.( ) ( ) ( ( ) ( ))n k−1 k−1 ‘−1k=1 ‘=1 b) On poseg (u)=h(‘)−h(u+‘−1), par changement de variable affine, il vient:‘ Z Z‘ 1 (h(‘)−h(t))dt= g (u)du.‘ ‘−1 0 c) D’après les questions précédentes, on déduit: Z   m1 h  iXg (0)+g (1)‘ ‘ k (k−1) (k−1)g u du= + −1 g 0 −g 1 P 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )‘ k‘ ‘20 k=2 Z 1 m (m)+(−1) g (t)P (t)dtm‘ 0 Or ( (k−1) (k−1)∀k> 2,g u =−h u+‘−1( ) ( )‘ (k−1) (k−1) (k−1) (k−1)g (0)−g (1)=h (1)−h (0)‘ ‘  n m h  iX Xg (0)+g (1)‘ ‘ k (k−1) (k−1)U = + (−1) h (1)−h (0) P (0) +n k 2 k=1 k=2 Z 1 m+1 (m)+ −1 h u+‘−1 P t dt.( ) ( ) ( )m 0 4
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