Iscid 1999 mathematiques classe prepa hec (ect)

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ISCID 1999 Option technologiqueExercice 10Si I est la matrice-unit´e d’ordre n, on posera, par convention, M =I pour toute matrice M, carr´ee d’ordre n.n nOn notera I la matrice-unit´e d’ordre 4 (c’est-`a-dire I =I )4Soient (a ) ,(b ) ,(c ) ,(d ) , les suites d´etermin´ees par la donn´ee de :n n∈N n n∈N n n∈N n n∈N a = 2 a =−a −6b +9c −6d 0  n+1 n n n n b =−1 b = 3a +8b −9c +6d0 n+1 n n n net les relations de r´ecurrence : c = 1  c = 2a +4b −4c +4d0 n+1 n n n n  d =−1 d =a +2b −3c +4d0 n+1 n n n n an bn 1. Soit, pour tout entier n> 0, X =n  cndn(a) Montrer qu’il existe une matrice A, carr´ee d’ordre 4, telle que, pour tout entier n> 1, X =AX .n+1 n2 2(b) Calculer A . Montrer qu’il existe deux r´eels α et β tels que A =αA+βI.−1(c) En d´eduire que A est inversible. Pr´esenter alors A sous forme d’un tableau de nombres.2. Soient (u ) , et (v ) , les suites d´etermin´ees par :n n∈N n n∈N u = 1 u =−2v0 n+1 net les relations de r´ecurrence :v = 0 v =u +3v0 n+1 n nnMontrer par r´ecurrence que, pour tout entier n> 1, A =u I +v A.n n3.(a) Montrer qu’il existe une matrice M, carr´ee d’ordre 2, telle que, pour tout entier n> 1, u un+1 n=Mv vn+1 n 2 1 −1(b) Soit P = . Montrer que P est inversible, et calculer P .−1 −1−1 n4. Soit D =P MP. Calculer D, puis, pour tout entier n> 0, D .5.n n −1(a) Montrer que, pour tout entier n> 0, M =PD P .n(b) Pr´esenter alors M sous la forme d’un tableau de nombres.(c) Exprimer u et ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ISCID 1999 Option technologique
Exercice 1 0 SiInn,onrdrera,pposevnneraoc,itnoesamtlirtau-ec´tinodeM=Inpour toute matriceMerrrac,drodee´n. On noteraIlmanit´edoatrice-u-tsed-a`erdrc(4eirI=I4) Soient (an)nN,(bn)nN,(cn)nN,(dn)nN:,dleenimrete´dsetiusseen´onadrlpaes´e   a0= 2an+1=an6bn+ 9cn6dn     b0=1bn+1= 3an+ 8bn9cn+ 6dn etlesrelationsder´ecurrence: c0= 1cn+1= 2an+ 4bn4cn+ 4dn     d0=1dn+1=an+ 2bn3cn+ 4dn   an bn 1. Soit,pour tout entiern>0,Xn=   cn dn (a) Montrerqu’il existe une matriceAr´ar,centietroutpourque,leel4et,rordeedn>1,Xn+1=AXn. 2 2 (b) CalculerAiquertredstxilelee´rxueM.nosαetβtels queA=αA+βI. 1 (c)End´eduirequeAnvtisiere.bl´ePrtneslaresroseAsous forme d’un tableau de nombres. 2. Soient(un)nN, et (vn)nNe´seap:re´etmrnisdteuissle,   u0= 1un+1=2vn etlesrelationsdere´currence: v0= 0vn+1=un+ 3vn n Montrerparre´currenceque,pourtoutentiern>1,A=unI+vnA. 3. (a) Montrerqu’il existe une matriceM2et,leeluq,eopru,carr´eedordrreitnetuotn>1,    un+1un =M vn+1vn   2 1 1 (b) SoitP= .Montrer quePest inversible, et calculerP . 11 1n 4. SoitD=P MP. CalculerD, puis, pour tout entiern>0,D. 5. n n1 (a) Montrerque, pour tout entiern>0,M=PP D. n (b)Pre´senteralorsMsous la forme d’un tableau de nombres. (c) Exprimerunetvnen fonction den. 6. n (a)D´eduiredecequipre´c`edelexpression,pourtoutentiern>0, deAsous la forme d’un tableau de nombres. (b) Donneralors l’expression dean, bn, cn, dnen fonction den. n (c) L’expressiondeAobtenue en a.) pourn>0 est-elle encore valable pourn=1 ?
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Exercice 2 On rappelle que 2< e <3. On pose, pour tout entier natureln, e Z n In= (lnt)dt 1 1. (a) Justifierque, pour toutn,In>0. (b) CalculerI0pnraaptre´rgtaoiies,up,e,siunntnteieneuactI1. (c)Demˆeme,eneectuantuneint´egrationparparties,trouverunerelationdere´currenceentreInetIn+1. D´eduiredecetterelationder´ecurrenceque,pourtoutentiernatureln, on a : e 0< In6 n+ 1 End´eduirequelimIn= 0. n+2. n (a)Montrerparr´ecurrenceque,pourtoutentiernatureln, il existe un entierpntel queIn= (1) (epnn!) et exprimerpn+1en fonction depn. epn (b) Montrerque lim= 1 n! n+Exercice 3 Partie A On dispose de deux boˆıtesB1etB2,bxueeluomunsore´eet´ets12.dtdee Onconside`rele´preuveal´eatoireconsistanta`placerauhasard,demanie`re´equiprobable,etind´ependammentlune delautre,chaquebouledansuneboıˆte. On appelle alors : Xelbairavalteˆınsdabolaedobluseuaonbmerre´egaleal´eatoiB1; Nobedetıˆonelerbmel.)taanenntouebunuc-a`-tseoceneridl´er`esve(cpreu´teerssesepavsdi 1. Quelleest la loi deX? Donner les valeurs deE(X) etV(X). 2. (a)D´eterminerpouri∈ {0,1,2},etj∈ {0,1}pselt´esbilirobaP((X=i)(N=j)). Pr´esenterlesre´sultatssouslaformeduntableau`adoubleentre´e. (b) Donnerla loi deN. CalculerE(N) etV(N). 3. 3 2 P P (a) CalculerE(XN) =ijP((X=i)(N=j)). i=0j=0 (b)Ende´duirecov(X, N). (c)Lesvariablesal´eatoiresXetNno-tleelisdne´epndantes?s
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Partie B On dispose maintenant de trois boˆıtesB1, B2etB3,i´otebes1usoelnstmeueed´rotr,2 et 3. Onconsid`erele´preuveale´atoireconsistant`aplacerauhasard,demani`ere´equiprobable,etinde´pendammentlune de l’autre, chaque boule dans une boˆıte. On appelle, comme dans lapartie A Xsdleoueboˆabslanetıvalbleaariatoirl´ealaae´egerbdenumoB1; Nlderbmone.)eluobenuctenantauireneconse-ta`d-ervu(ecsl`eep´deviprsatsersee´ˆobesetı 1. Quelleest la loi deX?Pnt´emet´eltruop,uosire´rcekde{0,1,2,3}, la valeur deP(X=k). Donner aussi les valeurs deE(X) etV(X). 2.Comple´terletableaudonne´enannexe,quidonnelesvaleursrespectivesdesvariablesal´eatoiresXetN selonler´esultatdele´preuveal´eatoireeectue´e. 3. (a)De´duiredelexamendutableaupre´c´edentlesvaleurs,pouri∈ {0,1,2,3}, etj∈ {0,1,2}des probabi-lite´sP((X=i)(N=jrlesr´esultatssosualofmrdeutnbaauledo`aleubtren.ee´P.))etnese´r (b) Donneralors la loi deN. CalculerE(N) etV(N). 4. 3 2 P P (a) CalculerE(XN) =ijP((X=i)(N=j)) i=0j=0 (b)Ende´duirecov(X, N). (c)Lesvariablesal´eatoiresXetNsont-ellesind´ependantes?
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Annexe Contenu de B1Contenu de B2Contenu de B3Valeur de NValeur de X 1, 2, 3- -1, 23 -1, 2- 3 1, 32 -1, 3- 2 2, 31 -2, 3- 1 1 2,3 -1 2 3 1 3 2 1 -2, 3 2 1,3 -2 1 3 2 3 1 2 -1, 3 3 1,2 -3 1 2 3 2 1 3 -1, 2 - 1,2, 3-- 1,2 3 - 1,3 2 - 2,3 1 - 12, 3 - 21, 3 - 31, 2 - -1, 2, 3
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