ISFA 1998 1ere epreuve de mathematiques

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I. S. F. A. 1998-1999 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES ________________________________________ Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. Les problèmes I et II sont indépendants I On note Γ()t , ψ()t et ϕ()t les intégrales : ∞−t 1 ∞−t 1 ∞−t 1x x xΓ()t = dx ; ψ()t = dx ; ϕ()t = dx . ∫ ∫ ∫x x xe e + 1 e − 1o o o1°- Justifier pour t>0 l’existence de Γ()t et ψ()t et, pour t>1, l'existence de ϕ()t . 2°- Montrer que, pour t>1, Γ ( t )= ( t− 1)Γ ( t− 1) . Calculer Γ()n pour n entier strictement positif. Dans la suite du problème on suppose t>1 * 3°- On note ϕ ()t et ψ ()t les suites définies sur N par : n n∞−x −x −nx t−1n→ϕ ()t = e (1+ e ++ e ) x dx n ∫o∞−x −x n −nx t−1n→ψ ()t = e (1− e ++(−1) e ) x dx n ∫o(Il n'est pas demandé de justifier l'existence des intégrales ϕ ( t ) et ψ ( t ) ( voir 1°-)) n nJustifier les inégalités : ∞Γ ( t−1)−( n+1 )x t−2 ϕ ( t )−ϕ( t ) ≤ e x dx= n ∫ t−1( n+ 1)o∞Γ ( t )−( n+2 )x t−1 ψ ( t )−ψ ( t ) ≤ e x dx= n ∫ t( n+ 2 )o4°- On pose, pour n entier strictement positif : n+11 1 1 (−1) U ( t )= 1+ + ..+ ; S ( t )= 1− + ..+ n nt t t t2 n 2 nMontrer que : ϕ ( t )=Γ ( t )×U ( t ) ; ψ ( t )= Γ ( t )× S ( t ) n n+1 n n+1n+1(−1)1Déduire la convergence des séries et . ∑ ∑t tn n≥1 nn≥1En notant U(t) et S(t) les sommes de ces deux séries montrer que : 1 1 U( t )−U ( t ) ≤ ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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I. S. F. A. _________
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES ________________________________________
Durée : 4 heures
Les calculatrices sont interdites. Les problèmes I et II sont indépendants
I
On noteΓ(t),ψ(t)etϕ(t)les intégrales : t1t1t1 x xx Γ(t)= dx ;ψ(t)= dx ;ϕ(t)= dx. x xx e e+1 e1 o o o 1°- Justifier pourt>0 l’existence deΓ(t)etψ(t) et,pourt>1, l'existence deϕ(t). 2°- Montrer que, pourt>1,Γ( t )=( t1 )Γ( t1 ). CalculerΓ(n)pournentier strictement positif. Dans la suite du problème on supposet>1 *3°- On noteϕ(t)etψ(t)les suites définies surNpar : n n xxnx t1 nϕ(t)=e (1+e++x dxe )n o xx nnx t1 nψ(t)=e (1e++(e )1 )x dxno (Il n'est pas demandé de justifier l'existence des intégralesϕ( t )etψ( t ) ( voir 1°-)) n n Justifier les inégalités : Γ ( n+1 )xt2( t1 ) ϕ( t )ϕ( t )dxe x=n t1 o( n+1 ) ( n+t2 )x1Γ( t ) ψ( t )ψ( t )e xdx=n t o( n+2 ) 4°- On pose, pournentier strictement positif : n+1 1 11 (1 ) t )U (=1+ +..+;t )S (=1− +..+n n t tt t 2 n2 n Montrer que : ϕ( t )=Γ( t )×U (t );ψ( t )=Γ( t )×S (t )n n+n1 n+1 n+1 1 (1 ) Déduire la convergence des sérieset . tt nn1n n1 En notantU(t)etS(t)les sommes de ces deux séries montrer que : 1 1  U( t )t )U (;S( t )t )S (. n n t1 t ( t1 )n( n+1 )
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Concours d'Entrée _______________
1 5°- En étudiant la différenceϕ(t)ψ(t), établir la relationψ(t)=ϕ(t)×( 1). t1 2 1 En déduire l'égalitéS( t )=U ( t)×( 1). t1 2 6°- Pour calculer une valeur approchée deU(t)on peut :  soit(méthode a) calculert ) ;U (n soit (méthode b) calculert )S (et utiliser la relation obtenue au 5°. n On noteα( t )etβ( t )les majorations des erreurs obtenues en utilisant respectivement: n n 1 1 U ( t)t )U (( méthode a);S( t )S (t )(méthode b) n n t1 t ( t( n1 )n+1 ) Montrer que : t1 β1( t )n t n= ×t ( t )1 α n( n+1 ) 1t1 2 En déduire que , pour tout entier strictement positif, on a: βnt( t )1 1 ≤ ≤ pour1<t<2 t1 α( t )2×ln( 2 ) n2×( 21 ) t β( t )( t1 )1 n ≤ × pourt2t α1( t ) nt 1t1 2 t ( t1 ) Montrer que la fonctiontest croissante sur[2,). Donner sa limite quandttend verst t 1 Montrer que la fonctiont1est croissante sur[2 ,)t1 2 Quels commentaires pouvez-vous faire relativement au choix entre les deux méthodes? II- A 3 On notefetgles fonctions dedansRdéfinies par : f ( x, y, z ) 2 2t f ( x, y, z )=( x+yt+e dtzt ) ;g( x, y, z )= pour(x,y,z)(0,0,0) 2 2 2 x y z o+ + 1°- Justifier l'existence de l'intégralef(x,y,z). Montrer que la fonctiongest invariante par homothétie. 3 22 2 2°- SoitS={( x, y, z )R /x+y+z=1}3  (i)Montrer queS. En déduire l’existence d’un pointest une partie bornée et fermée de( x), z, ydeS0 0 0 tel que pour tout(x,y,z)deS on aitf ( x, z, y)f ( x, y, z ). o o o  (ii)Montrer que la différentielle de la fonctiongest nulle en) ., y, z( x0 0 0
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t t 3°- On noteVla matrice ligne[x, y, z] etVla matrice ligne[x ,y ,z] .V etV0les matrices désignent 0 00 0 colonnes transposées correspondantes. t  (i)Montrer quef ( x, y, z )peut s'écrireV×M×V oùMune matrice carrée d'ordre 3, symétrique définie est positive dont on donnera l'expression.  (ii)Montrer queM×V=f ( x, y, z)×V ( On pourra utiliser 1°-(ii)) 0 00 00 En déduire que), z, yf ( xest égal à la plus petite valeur propre deM. 0 0 0 3 t 4°-On notele produit scalaire défini surparφ( a ,b )=A×M×B. (A–respectivementB- désigne la matrice 2 colonne associée au vecteura-respectivementb-). On notea=φ( a , a )le carré de la norme associée. M    3 On note encore{e ,e ,e}la base canonique de. 0 1 2  2  (i)Montrer quef ( 1, y, z )=e+y e+z e. En déduire l'existence d'un unique couple de réels), z( y 0 1 21 1 M 2 tel que pour tout couple(y,z)de onait, z)f ( 1, yf ( 1, y, z )1 1  (ii)Déterminer le couple( y, z)et calculerf ( 1, y, z) .Montrer alors que la plus petite valeur propre de 1 11 1 la matriceMest majorée par1/3. II-B n Dans cette partie on généralise àcertains des résultats obtenus dans la partie A. kt On rappelle quet edt=k! (kN ) 0 n1 2 -t On note)f ( a,.., a, a l'intégrale( a+a t+..+dt) ea t0 1n1 n1 01 0 tt 1°- Expliciter la matriceMntelle que),a ,..,af ( a=V×M×V oùV désignela matrice ligne 0 1n1 n t [a ,a ,..,a]etVla matrice colonne transposée deV. 0 1n1 n1 2°-(i) Montrer qu'il existe un unique point)( b,b ,..,bde telque pour tout point( a), a,.., ade 1 2n2 n1 11 n1 on ait :f ( 1,b,..,b ),..,a )f ( 1,a1 nn1 11  (ii)Montrer que les réels),b ,..,b( bsont solutions du système : 1 2n1 n1 b×( k+k!j )! j= − j=1 k=1,2,..,n1 On admettra que ce système admet pour solution : j (1 )j b= ×C j n1 ( 1+j )! j=1,2,.., n1  (iii)Montrer que : 1  0   ,..,b )f ( 1,b=[1,b ,..,b]×M×1 nn1 11 n .  0   En déduire quef(1,b1,..,bn-1)=1/n3°- Conclure de 1° et 2° que la plus petite valeur propre de la matriceMtend vers0quandntend vers+. n
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