ISFA 1999 2eme epreuve de mathematiques option a

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I. S. F. A. 1999-2000 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Calculatrices interdites. Les quatre exercices proposés sont indépendants. EXERCICE 1 Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur les paramètres réels α et β pour que toutes les solutions du système différentiel x′′()t =−(α+β)x()t +βy()t y′()t =βx()t −βy()t2soient des fonctions t →()xt , y(t) bornées de IR dans IR . EXERCICE 2 1) Par intégration par parties successives établir que pour tout entier naturel n : +∞−u n n!= e u du . ∫ 02) En faisant le changement de variable u = n+ x n , établir pour tout entier naturel non nul n : +∞n+1 −nn .e x x n!= exp( n(n(1+ )− ))dx . ∫n n n− n3) On considère la suite de fonctions ()f de IR dans IR définie par : n n≥1 f ()x = 0 si x≤− n n  −x x n +n 1+   n n    f ()x = e pour x>− n . n Montrer que ()f est une suite de fonctions continues par morceaux convergent simplement vers la n n≥12− x2fonction : x→ e . 4) Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 : n et pour tout x≥ 0 on pose :   − x x ϕ()x = n +n1+  + x−n()1+ x .   n n  +Montrer que ϕ est décroissante sur IR , en déduire que pour tout x≥ 0 on a ϕ()x ≤ 0 , puis que pour tout n entier naturel non nul et tout x≥ 0 : −x 0≤ f ()x ≤ e (1+ x) . n5) Pour u réel satisfaisant ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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I. S. F. A. _________
EXERCICE1
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures
OPTION A
Calculatrices interdites.
Les quatre exercices proposés sont indépendants.
 Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur les paramètres réels et solutions du système différentiel xy((tt)()β==x(αtβ+)β)xy((tt) + βy(t)) soient des fonctionst→ (x(t), y(t))bornéesdeIRdansIR2. EXERCICE2
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1999-2000 _________
Concours d'Entrée _______________
 pour que toutes les
1) Par intégration par parties successives établir que pour tout entier natureln: +∞ n!=0euundu. 2) En faisant le changement de variableu=n+x n, établir pour tout entier naturel non nuln: n+1n+∞ n!=e.nexp( n(n( 1+)xdx))x. n n n n 3) On considère la suite de fonctions(fn)n1deRdansRdéfinie par : nf(x) =0 six≤ −nnx+n1+x fn(x)=enn pourx> −n.  Montrer que(fn)n1est une suite de fonctions continues par morceaux convergent simplement vers la 2 x fonction :xe 2. 4) Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 :net pour toutx0on pose : x x ( )nn 1x n(1 x) ϕx=n++n+ −+. Montrer que est décroissante surR+, en déduire que pour toutx0on aϕ(x) ≤0, puis que pour toutnentier naturel non nul et toutx0: 0nf(x) ≤ex(1+x). 5) Poururéel satisfaisant1<u<0montrer que
2 u+n(1+ ) ≤ −u. u 2 En déduire que pour toutnentier naturel non nul et toutx0: 2 x 0nf(x) ≤e 2. 6) Montrer quelim+∞enxn+n1+nxdx=+e2u2du. n→+∞ −n 7) En utilisant la formule+0et2dt=2π, établir lapproximation de Stirling : n!+~en2nπn. EXERCICE3
2
On considèreKa=(x,y)IR2ax+y x1 et1aest un paramètre réel. 1) Montrer queaKest un fermé deR 2. Existe-t-il des valeurs deapour lesquellesKaest un compact ? On note :f(x, y) =2x 2+y 2+xyx. 2) Montrer que pour tout(x, y)deaK:f(x, y) ≥34x 2+y 21. En déduire que(ly)im→ +∞f(x, y) = +∞. x, (x, y)∈Ka 3) Justifier lexistence de(M,xy)infaK(x, y): la valeur minimum defsuraK. 4) Trouver la valeur précédente ainsi que le(ou les) point(s) où ce minimum est atteint.
(La réponse comporte une discussion suivant les valeurs de a ).
EXERCICE4  Les données sont les suivantes : Aest une matrice symétrique définie positive de taillen. best un vecteur deR n,Fun sous-espace vectoriel deR n. <,>désigne le produit scalaire canonique deR n,.la norme euclidienne qui en découle.  Comme usuellementAest identifiée à lapplication linéaire deR ndansR n, ayantApour matrice dans la base canonique.
 Pourx, vecteur générique deR non posef(x) =x,Ax21b, xet on se pose le problème (G)Min f(x)xF consistant à trouver la valeur minimale def(x)lorsquexparcourtF, ainsi que tous lesxpermettant dobtenir cette valeur. 1) Voici, un exemple, dun tel problème fabriqué avec les données de lexercice 3. On poseDa=(x,y)IR2ax+y=1.
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2)
3 Montrer que le problème :+ +xyx(M,xy)inDa 2 y2 x 2peut, après un très simple changement de variable, se mettre (à une constante addive près) sous la forme (G).
Résoudre directement (le plus simplement) ce problème. Pour0xIR nethIR nfixés ett∈ [0,1]variable on pose : Fx0 ,h(t) =f(x0+th). En remarquant que0,Fxh(t) un polynôme de degré 2 en esttcalculerxF0 ,h(t) etxF′′0 ,h(t), en déduire les formules (utiles pour la suite) : 2 f(x0+th) −f(x0) =t Ax0b, h+th2,Ah;
f(x0+h) −f(0x) ≥Ax0b, h. 3) Montrer que siF est non réduit à{0},lim f(x)= +∞. En déduire lexistence (dau moins) une x→+∞ xF solution de(G)(cest-à-dire dunxdeFsatisfaisantf(x)=Min f(x)). xF
4)
5)
Montrer quexdeFest une solution de(G)si et seulement siAxbappartient à Montrer que la solution de(G)est unique et vérifie f(x) = −x,2A1x= −x,b21
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