ISFA 1999 2eme epreuve de mathematiques option b

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I. S. F. A. 1999-2000 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION B - I - Soit ℘ un ensemble de N individus noté I ,..,I . On s'intéresse au caractère "fumeur" ou "non-fumeur" de chaque 1 Nindividu et, pour les individus fumeurs, à la consommation moyenne mensuelle calculée en nombre de cigarettes. Pour l'individu I on note c sa consommation en convenant de noter c =0 si I est non-fumeur. i i i iOn note θ la proportion d'individus fumeurs dans ℘ et m la moyenne des consommations calculée dans c∑ ii=1,..,Nl'ensemble des individus fumeurs de ℘ ( m= ) N×θ1°) On prélève dans ℘ un individu avec équiprobabilité. On note C la variable aléatoire égale à sa consommation. Calculer en fonction de N,θ et m la probabilité de l'événement C=0 et l'espérance de la variable C. 2°) On prélève dans ℘un échantillon de n individus de telle façon qu'un individu ne puisse figurer plus d'une fois dans l'échantillon. Pour i∈[1,2,..,N] on note E l'événement "I appartient à l'échantillon". I désigne la variable de Bernoulli égale à 1 si i i EiE est réalisé et égale à 0 sinon. ia - Que vaut I ? Si on suppose que toutes les probabilités Pr(E) sont égales, déduire la valeur ∑ iEii=1,.., Ncommune à ces probabilités. Montrer également que, si on suppose aussi que les événements E ∩ E sont tous équiprobables on a, pour i i jn(n−1)différent de j, Pr(E ∩ E )= ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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I. S. F. A. _________
1999-2000 _________
Concours d'Entrée _______________
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION B - I -Soitun ensemble de N individus noté I1,..,IN. On s'intéresse au caractère "fumeur" ou "non-fumeur" de chaque individu et, pour les individus fumeurs, à la consommation moyenne mensuelle calculée en nombre de cigarettes. Pour l'individu Iion note cisa consommation en convenant de noter ci=0 si Iiest non-fumeur. On noteθ laproportion d'individus fumeurs dansm la moyenne des consommations calculée dans et c i i=1,.., N l'ensemble des individus fumeurs de(m=) × θ 1°) Onprélève dansun individu avec équiprobabilité. On note C la variable aléatoire égale à sa consommation. Calculer en fonction de N,θet m la probabilité de l'événement C=0 et l'espérance de la variable C. 2°) Onprélève dansun échantillon de n individus de telle façon qu'un individu ne puisse figurer plus d'une fois dans l'échantillon. Pour i[1,2,..,N] on note Eil'événement "Iiappartient à l'échantillon".I désignela variable de Bernoulli égale à 1 si E i Eiest réalisé et égale à 0 sinon. a -Que vautI ?Si on suppose que toutes les probabilités Pr(Ei) sont égales, déduire la valeur i E i=1,.., N commune à ces probabilités. Montrer également que, si on suppose aussi que les événementsEtous équiprobables on a, pour iE sont i j n(n1) différent de j,Pr(EE )=i j N(N1) b -Montrer que le modèle de tirage avec équiprobabilité des combinaisons de n objets pris dans N satisfait aux deux conditions définies ci-dessus. 3°) SoitM la variable aléatoire égale au nombre d'individus fumeurs de l'échantillon des n individus. Montrer que M peut s'écrireI×I .En déduire l'espérance et la variance de M. i>i c 0E i=1,.., N 4°) SoitT la variable aléatoirec×I i i E i=1,.., N Donner l'espérance de T . En déduire une variable aléatoire d'espérance m. 5°) SoitZ la variable aléatoire définie par : Z=0 si M=0 c×I ii E i=1,.., N Z= M a -Interpréter la variable Z. 1999
 2 b -Sachant l'événement M=k(k>0) donner la probabilité Pr(Ei/M=k) pour un individu Iifumeur. En déduire l'espérance de Z conditionnée par l'événement M=k. On note Esp(Z/M=k) cette espérance. c -Montrer la relation :Esp(Z)=Esp(Z / M=k)×Pr(M=k) . En déduire une expression de la différence k0 Esp(Z)-m. Pour obtenir des informations sur le réel m quels sont les avantages d'utiliser T ou d'utiliser Z ? - II -Un mécanisme est composé de deux éléments notés e1 ete2. Durant son fonctionnement le mécanisme est susceptible d'être perturber par des incidents pouvant affecter un les deux éléments. On note : N lenombre aléatoire d'incidents survenant au cours de la période [a,b[ (0<=a<b) ab 1 N lenombre aléatoire de fois où l'élément e1est affecté au cours de la période [a,b[ ab 2 N lenombre aléatoire de fois où l'élément e2est affecté au cours de la période [a,b[ ab Les hypothèses de stationnarité du phénomène générant les incidents, de non influence des incidents "passés" sur les incidents "futurs" et de non-réalisation simultanée de deux incidents sont modélisées par les conditions suivantes: (i) Pourtout couple(a,b) (a<b)et pour tout réel t positif les variablesN etNont même loi. ab a+t, b+t (ii) Pourtous couples (a,b) et (c,d) tels que les intervalles [a,b[ et [c,d[ soient disjoints les variablesNab etNsont indépendantes. cd (iii) Lalimite quand t tend vers 0 par valeurs supérieures de la probabilité conditionnelle de l'événement " N=1" sachant " N>0 " est égale à 1. 0t 0t (iv) Onsuppose de plus que, pour tout couple(a,b) (a<b)la probabilitéPr(N=0) eststrictement ab positive. II-A PRELIMINAIRESPour X variable aléatoire à valeurs entières positives on associe la fonction g définie par : X k  sg(s)=Esp(s )=Pr(X=k)×s k0 1°) Montrerque la fonction g existe pour s[0,1]. Que vaut g(0)? k λ −λ 2°) Calculerla fonction g pour X de loi de Poisson :Pr(X=k)=e ,k0 ,λ >0 ! + + 3°) Soit{tX ,tg (s),R }un ensemble de variables aléatoires à valeurs entières positives et {R }les t t fonctions g associées. On suppose que, pour tout k de N,lim Pr(X=k) existe.On note pkcette limite. t t0 k Montrer que, pour sg (s)[0,1] lim=p s. tk t0 k0 h k (Indication : On pourra montrer que, pour s<1 la sommePr( X=h )sest majorée par1s /(s )et peut donc t hk être rendue inférieure àε, indépendamment de t, à condition de prendre k "assez grand").
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 3 II-B N 0t On noteϕ(s,t) la fonction g associée à la variableN :ϕ) .(s,t)= Esp(s 0t 1°) Montrerque la fonction tϕ(s,t) est croissante et vérifie la propriété: Pour t et t' réels positifsϕ(s, t+t' )= ϕ(s, t)ϕ(s, t' )(Utiliser (i) et (ii)). En déduire queϕ(s,t) peut s'écrire sous tf (s) la formee avecf(0)0. (Indication: On utilisera sans démonstration la propriété caractéristique suivante: "Toute application monotone de R dans R telle que, pour tout couple (x,y), h(x+y)=h(x)+h(y) est de la forme : xh(x)=cx" ) 2°) Montrerque l'on peut écrire : (s, t)(0, t)f (s)f (0) + ε= −lim(t) avecε(t)=0 1 (0,t − ϕ) f(0)t0 (s, t)(0, t)k 3°) Interpréterà l'aide de la fonctionPr(N=k / N>0)s . 0t 0t 1− ϕ(0, t) k1 f (s) λt(s1) En déduire 1− =puis ques ,ϕe où(s,t) peut s'écrireλest un réel positif. f (0) Donner alors la loi des variablesN etplus généralement des variablesN 0t ab II-C On noteT lavariable aléatoire "instant du premier incident et d'une manière générale Tnla variable aléatoire 1 iéme "instant du nincident. 1°) Exprimerl'événement Tt àl'aide de la variable aléatoireT .En déduire la loi de la variableN . 1 0,t 1 2°) Exprimerl'événement T<tT àl'aide de la variable aléatoireN .En déduire par récurrence que la n n+t1 0, loi de la variableT admetpour densité la fonction : n+1 n u n+1−λu  uf (u)= λe I(u) n+1+ R ! II-D Lors de la survenance d'un incident on note pi(i=1,2) la probabilité pour que, l'élément eiseul soit affecté. On note aussi q (égal à 1-p1-p2) la probabilité pour que les deux éléments soient simultanément affectés. 1 1°) Exprimeren fonction de p1,p2et q la probabilité conditionnellePr(N=k / N=n) ab ab 1 2 En déduire la loi deN .Donner également la loi deN . ab ab 1 212 2°) Onnote V, Vet Vles nombres d'incidents affectant respectivement l'élément e1seul, l'élément e2seul ab abab et simultanément les éléments e1et e2pendant l'intervalle [a,b[. Montrer la relation: h+k+l 1 212 (ba)λ −λ −h k l  Pr(V=hV=kV=l)=p q .e p ab ab ab1 2 ! !l! 1 212 En déduire l'indépendance des variablesV ,V etV .Donner les lois de ces variables. ab abab 1 2 Déduire la covariance du couple ( N, N). ab ab
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