Isfa 2000 1ere epreuve de mathematiques 1ere epreuve de mathematiques 2000

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I. S. F. A. 2000-2001 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Les trois exercices sont indépendants. Calculatrices non autorisées. EXERCICE 1 π dt 1°) Pour a et b réels strictement positifs calculer l’intégrale I(a,b)= . (On pourra poser x=tg(t)). 222∫ab+ sint0 2°) Soit tf→ ()tune fonction positive et continue sur [c,+∞ ) (c>0) et λ un réel strictement positif . ∞ cn+λ(1+)Montrer que l’intégrale généralisée f(td) tet la série [(f td)t] , n∈N*, sont de même ∑∫ ∫cn+λcnature. (N* désigne l’ensemble des entiers strictement positifs). (1n+π)αtdt 3°) Soient α et β deux réels et soit la suite { u = , n∈N*}. n β 2∫1s+ttinnπEn utilisant un encadrement de u , montrer que u est équivalent au voisinage de l’infini à n n(1n+π) (1n+π)dt dtααn π . Déterminer un équivalent de v = (on distinguera les cas β>0, n∫ β 2 ∫ β 21s+ttin 1s+ttinnπ nπβ<0 et β=0). ∞αt 4°) On considère l’intégrale J(α,β) = dt . Déduire de 3° l’ensemble des couples (α,β) tels que ∫ β 21s+ttinπl’intégrale J(α,β) converge. Donner une représentation graphique de cet ensemble. EXERCICE 2 N désigne l’ensemble des entiers positifs ou nuls et N* l’ensemble des entiers strictement positifs. Soit {rn, ∈N} une suite à valeurs dans N*. nn ri A la suite {rn, ∈N} on associe la suite {un, ∈N} définie par la relation u = n n n ∏ r +1i=0 i 1°) Montrer que la suite {un, ∈N} ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures
2000-2001 _________
Concours d'Entrée _______________
I. S. F. A. _________
4°)
Montrer que lintégrale généralist dt, ée(t)dtet la série[c+λλ+(n+1)( ) ]n,*N de même sont c n c nature. (N* désigne lensemble des entiers strictement positifs). (n1)α Soientαetβdeux réels et soit la suite {un=+π1+tβdit2,nN*}. s n nπt t En utilisant un encadrement deun , montrer queun est équivalent au voisinage de linfini à (n1) (n+1)πdt nαπ+αππ1+tβdstin2t . Déterminer un équivalent devn=π1+tβsin2t (on distinguera les casβ>0, n n β<0 etβ=0).
Soittf(t) une fonction positive et continue sur [c,+∞) (c>0) etλun réel strictement positif .
Pouraetbréels strictement positifs calculer lintégraleI(a,b)=0πa2+bd2tsin2t. (On pourra poserx=tg(t)).
EXERCICE 2
∞ α On considère lintégraleJ(α,β) =1+tβtsin2tdt. Déduire de 3° lensemble des couples (α,β) tels que π lintégraleJ(α,β Donner une représentation graphique de cet ensemble.) converge.
2000
Les trois exercices sont indépendants. Calculatrices non autorisées.
3°)
2°)
1°)
EXERCICE 1
Montrer que la suite {un,nN} est monotone. En déduire sa convergence. On noteλla limite de la suite {un,nN}. a) Donner un exemple de suite {rn,nN} telle que la suite associée {un,nN} soit de limite nulle. b) Montrer que la conditionλ ≠ équivalente à la convergence de la série0 estr1. n
Cette question a pour objet de construire, pour un réel donnéλde lintervalle[0 , 1[une suite{rn,nN}
nr A la suite {rn,nN} on associe la suite {un,nN} définie par la relationun==0ri+1 i i
telle que la suite associée{un,nN}aitλpour limite. a) Soitλ ∈[0,1[ . Montrer quil existe un unique entierrdeN* tel que : r1r ≤ λ <. r r+1
3°)
2°)
Ndésigne lensemble des entiers positifs ou nuls etN* lensemble des entiers strictement positifs. Soit {rn,nN} une suite à valeurs dansN*.
1°)
Montrer (par exemple par un raisonnement de récurrence) que, pour tout entiernon a : − λ2 rn+11=etrn+1=rn. rn+1un En déduire lexpression dernen fonction dek. En particulier donner la suite {rn,nN} associée au réelλ=1/2 . Soit une suite {rn,nN} telle que, pour tout entier n deN,rn+1=rn2. La suite associée {un,nN} à la suite {rn,nN} converge-t-elle ? Son éventuelle limite est-elle de la formek?1 k,kN*
c)
b)
r2.
c)
On suppose que la suite {xn,nZ} est de la forme :nxn= α +n+n2. Montrer que, pour tout entier relatifp la fonctionϕpsannule en un unique point noté (ap,bp,cp) dont on donnera lexpression en fonction deα,βetγ. Réciproquement on suppose que pour tout entier relatifp la fonctionϕp sannule. On note encore (ap,bp,cp(dont on montrera lunicité) tel que) le point ϕp(ap,bp,cp)=0. a) Etablir la relation :
2°)
la suite construite au 3°.
Zdésigne lensemble des entiers relatifs. Soit {xn,nZ} une suite de réels définie surZ.
Pourpentier relatif on introduit la fonctionϕp deR3dansRdéfinie par : h=2 ϕp(a,b,c)(xp+ha bh ch2)2. = − − − h= −2
Soitslunique entier deN* tel que : 1≤ λr+1<s. r s+1 En démontrant quer21≤ λr+1,ét:éilbalrgénitila 2 r r
On introduit la suite dentiers {rn,nN} définie par : r0=r;r1=set par la récurrence :
rn11rn1 rn+1est lunique entier tel que :+<λ+ oùun=i=n0riri1 rn+1unrn+1+1+  Etablir linégalitérn+1rn2. En déduire que la suite {un,nN} a pour limiteλ. Cette question a pour objet dexpliciter la suite{rn,nN}pour certaines valeurs deλ. a) Que vaut la suite {rn,nN} du 3° pourλ=0. b) Soitkun entier strictement supérieur à 1 et soitλle réelkk1 . La suite {rn,nN} désigne encore
4°)
2
2000
-A-
1°)
EXERCICE 3
---
2000
3
n+
2 n.
ap111bp avec M=012 ×cp001
1°)
b)
2°)
espace vectoriel de dimension 4. Vérifierquelasuite{xn=n3,nZ} est une suiteloca(2). Caractériser alors simplement lensemble des suitesloca(2).
c)
=xxpp21111-2-14Xpxxxppp++12 = ; I111 ; H =012 ; = K014
-B-Pourpentier relatif on introduit les vecteurs deR5suivants :
c)
xp+24xp+1+6xp4xp1+xp2=0 Expliquer alors succinctement pourquoi lensemble des suitesloca(2)muni des lois usuelles est un
Montrer que la suite {xn,nZ} estloca(2)si et seulement si on a pour tout élémentpdeZ
Une suite {xn,nZ} est dite localement assimilable à un polynôme de degré 2 (on dira que la suite est loca(2)) si, pour tout entier relatifp, le réelapest égal àxp. a) Montrer que les suites introduites enA.sont des suitesloca(2).
Interpréter la fonctionϕp(a,b,cde la différence de deux vecteurs.) comme le carré de la norme euclidienne En déduire que la fonctionϕpadmet un minimum en un unique point noté encore (ap,bp,cp). Donner notamment lexpression du réelapen fonction des composantes du vecteurX.
b)
EnécrivantlamatriceM la forme sousI+J (I désigne la matrice unité carrée dordre 3) calculer
abpp++1M 1 cp+1=
Conclure alors que la suite {xn,nZ} est de forme :nxn= α +
successivement : Mp, pourpentier positif ; M-1matrice inverse deM; Mppourpentier négatif.
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