ISFA 2000 2eme epreuve de mathematiques option a

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I. S. F. A. 2000-2001 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A L’exercice et le problème sont indépendants. Les calculatrices sont interdites. EXERCICE 2 On considère dans IR les deux domaines suivants : 2  2 2u D = (u, v)∈ IR 2 < u < 4 et 1< v < ; ∆= (,xy∈)IR2< x+ y< 4 etxy> 1 et x< y . { }  4 2 2 1°) Montrer que D et ∆ sont deux ouverts bornés de IR et que l’application ϕ de ∆ dans IR : u = x + y∞ (x, y) → (u, v) = ϕ(x, y) avec est une bijection C de ∆ sur D.  v = xy  Calculer son jacobien. 2°) En utilisant le résultat précédent, calculer l’intégrale 2 2 I = (x − y ) cos(xy)dxdy . ∫∫∆ 3°) Calculer à nouveau I, mais en utilisant cette fois la formule de Green Riemann. (On ne s’attardera pas à justifier la légitimité du changement de variables dans I, ni la légitimité d’application de la formule de Green Riemann). PROBLEME 1 nI. On considère une application W de classe C de IR dans IR convexe, c’est-à-dire vérifiant pour tout couple n(x, y) de IR et tout λ∈[]0,1 W((1−λ)x +λy) ≤ (1−λ)W(x) + λW(y) . nPour h et x fixés dans IR, 0h ≠ et t réel on pose ϕ (t) = W(x + th) . (h,x)1°) Montrer que ϕ est aussi convexe de IR dans IR , en déduire que (h,x) ϕ (0) ≤ ϕ (1) −ϕ (0). ′(h,x) (h,x) (h,xn2°) En conclure que, pour tout couple (x, y) de IR , on a l’inégalité : gradW(x), y − x ≤ W(y) ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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I. S. F. A. _________
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures
2000-2001 _________
Concours d'Entrée _______________
OPTION A L’exercice et le problème sont indépendants. Les calculatrices sont interdites. EXERCICE 2  Onconsidère dansIRles deux domaines suivants : 222 u D=(u,v)IR2<u<4et1<v<Δ =(x,y)IR2<x+y<4etxy>1etx<y  ;.   4  2 2  1°)Montrer queDetΔsont deux ouverts bornés deIRet que l’applicationdeΔdansIR: u=x+y (x,y)(u,v)=(x,y)avec estune bijectionCdeΔsurD. v=xy  Calculerson jacobien.  2°)En utilisant le résultat précédent, calculer l’intégrale 2 2 I=(xy) cos(xy)dxdy. ∫∫ Δ  3°)Calculer à nouveauI, mais en utilisant cette fois la formule de Green Riemann. (On ne s’attardera pas à justifier la légitimité du changement de variables dans I, ni la légitimité d’application de la formule de Green Riemann). PROBLEME 1n I.On considère une applicationW declasseCdeIR dansIRconvexe, c’est-à-dire vérifiant pour tout couple n (x,y)deIRet toutλ ∈[0,1]W((1− λ)x+ λy)(1− λ)W(x)+ λW(y). n Pourhetxfixés dansIR,h0 ettréel on poseϕ(t)=W(x+th) . (h,x) 1°) Montrerqueϕest aussi convexe deIRdansIR, en déduire que (h,x) ϕ(0)≤ ϕ(1)− ϕ(0) . (h,x) (h,x) (h,x) n 2°) En conclure que, pour tout couple(x,y)deIR, on a l’inégalité : gradW(x),yxW(y)W(x) . 1n n On rappelle que pourW applicationCdeIR dansIR,gradW(x)est le vecteur deIR decomposantes WWW(x), (x),, (x) .   xxx 1 2nn II.On suppose maintenant queWstrictement convexe, c’est-à-dire vérifie, pour tout couple est(x,y) deIR, xy, et toutλ ∈]0,1[2000
 2 W((1− λ)x+ λy)<(1− λ)W(x)+ λW(y) 1n et enfin queWest toujoursCsurIRet vérifieW(0)=0etgradW(0)=0. n 1°) MontrerquexIRon a0=W(0)W(x). n 2°) MontrerquexIR ,x0 , on a0<W(x). 3°) Justifierl’existence de, valeur minimale deW(x)pourx=1 .Montrer que>0et que pourx1 xW(xlim) . En déduireW(x)= +∞. x→ +∞ n nn III.On note(q,p)l’élément générique deIR×IR,Ila matrice identité deIR,Jla matrice 2n×2n définie par n la décomposition en blocs 0In J=  I0 net on considère le système différentiel, dit système hamiltonien : q(t)(H)=Jgrad H(q(t),p(t))   p(t)   n n où l’on suppose queHest une application deIR×IRdansIRde la forme 2 1 H(q,p)=p+W(q). 2m mest une constante strictement positive. n la normeest la norme euclidienne deIR. 2n West une application de classeCdeIRdansIR. 1°) Montrerque sit(q(t),p(t))est une quelconque solution de (H) définie surIintervalle réel, on a un pour touttdeIH(q(t),p(t))=K(oùKest une constante).  Ondit queHest une intégrale première de (H) . n On suppose de plus queWest strictement convexe deIRdansIRet satisfaitW(0)=gradW(0)=0. 2°) Montrerque(0,0)est un point d’équilibre de (H), c’est-à-dire que la solution de (H) à la condition initiale n n (q(0),p(0))=(0,0)est la fonction définie surIRà valeur dansIR×IR, identiquement nulle. + + 3°) Ondéfinit la fonctiondeIRdansIRpar 2 2 2 (0)=0et pours0ψ( )=Inf H(q,p)s(q,p) où(q,p)=q+p. 22  Montrerque estcontinue en 0. 4°) Onse donneε >0 ,justifier l’existence de, 0< <ε telque (q,p)< δimplique 2 0H(q,p)<(ε). On noteϕ(t,q,pvaleur en) latla solution de ( deH) qui ent=0 satisfait 0 0 ϕ(0,q,p)=(q,p) . 0 00 0 n n Montrer que si(q,p)< δet si la solutiont→ ϕ(t,q,p) sort de la boule deIR×IRde centre 0 et 0 0 2 telle quet,q,p) . de rayonεil existet>0 (1 00= ε 12 2000
 3  Montrerqu’on aboutit à une contradiction.  Onen déduit que pour touttdu domaine de définition de la solutiont→ ϕ(t,q,p) 0 0 (q,p)< δimpliqueϕ(t,q,p)< ε. 0 00 0 2 2  Ondit que(0,0)est un équilibre stable de (H). 2 1 IV.Dans cette partie on considère encore le système hamiltonien (H) oùH(q,p)=p+W(q) maiscette fois 2m W(q)=T(q,q,q)n n n T(q,r,s)est une forme trilinéaire non identiquement nulle surIR×IR×IR. 1°) Montrerque l’on a encoreW(0)=gradW(0)=0.  Hprésente-t-elle encore un minimum en(0,0)? n n 2 H1H 2°) Etablirles relations :(q,p)p=pet (q,p)q=3W(q) . ii p mq i i i=1i=1  Onposef(q,p)=JgradH(q,p) etv(q,p)=H(q,p)q,p1 n  oùq,pest le produit scalaire standard deIRentreqetp. 1  Onnote n n U=(q,p)I R×HI R(q,p)<0et q,p>0 . 1 n n  MontrerqueUest un ouvert deIR×IRdont(0,0)est un point adhérent. Montrer que pour toutq,pdeU:gradv(q,p),f(q,p)<0 oùX,Yest le produit scalaire standard 2 2 n n deIR×IRentreXetY. 3°) Ondésigne encore parϕ(t,q,pvaleur en) lat dela solution de (H) qui ent=0 vaut 0 0 ϕ(0,q,p)=(q,p) . 0 00 0 On prend(q,p)Uet on suppose que cette solution est définie sur[0,+∞[ (*)et qu’elle reste dans 0 0 B=(q,p)U(q,p)< ε oùεest un nombre réel strictement positif quelconque. 2 ε 2  Montrerque si l’on notev(t)=v(ϕ(t,q,p)) on a pour toutt0v(t)≤ −3CC=H(q,p) . 0 0000 0  Endéduire quelimv(t)= −∞ce qui est une contradiction. Pourquoi ? t→+∞ En déduire que pour toutε >0 toute solution de (H) partant d’un point deU, finit par sortir de la boule de n n IR×IRde centre 0 et de rayonε.  Expliquerpourquoi ceci montre que(0,0)est un équilibre instable de (H). ---
(*) Ce que l’on peut démontrer rigoureusement si la solution reste bornée.
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