ISFA 2000 2eme epreuve de mathematiques option b

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I. S. F. A. 2000-2001 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION B Les deux problèmes sont indépendants. Calculatrice autorisée. PROBLEME 1 : Systèmes Bonus-Malus Dans la plupart des pays où l’assurance automobile est obligatoire, existent des systèmes Bonus-Malus à classes. Ceux-ci permettent d’ajuster la cotisation que paie annuellement un assuré sur le risque d’accidents (responsables) qu’il présente. Ils s’appuient sur le nombre d’accidents antérieurs de cet assuré. Plus précisément à chaque renouvellement annuel de son contrat, un assuré est placé (pour l’année à venir) dans une nouvelle classe de cotisation (qui peut être la même). Celle-ci ne dépend que de la classe de l’année précédente et du nombre d’accidents qu’il a occasionnés au cours de cette même année. Les règles de passage d’une classe à l’autre, la classe d’entrée dans le système pour les nouveaux contrats et les cotisations de chaque classe définissent ainsi un système Bonus-Malus. On considère dans ce problème un système simplifié comportant 3 classes : 1, 2, 3 correspondant aux cotisations 50, 70, 100 unités monétaires. La classe d’entrée dans le système est la classe 3. L’assuré bénéficie d’une réduction d’une classe pour chaque année sans accident, d’une pénalité d’une classe par accident. Ces règles conduisent au tableau suivant définissant le système ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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I. S. F. A. _________
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION B Les deux problèmes sont indépendants. Calculatrice autorisée.
2000-2001 _________
Concours d'Entrée _______________
PROBLEME 1 : Systèmes Bonus-Malus Dans la plupart des pays où l’assurance automobile est obligatoire, existent des systèmes Bonus-Malus à classes. Ceux-ci permettent d’ajuster la cotisation que paie annuellement un assuré sur le risque d’accidents (responsables) qu’il présente. Ils s’appuient sur le nombre d’accidents antérieurs de cet assuré.  Plusprécisément à chaque renouvellement annuel de son contrat, un assuré est placé (pour l’année à venir) dans une nouvelle classe de cotisation (qui peut être la même). Celle-ci ne dépend que de la classe de l’année précédente et du nombre d’accidents qu’il a occasionnés au cours de cette même année.  Lesrègles de passage d’une classe à l’autre, la classe d’entrée dans le système pour les nouveaux contrats et les cotisations de chaque classe définissent ainsi un système Bonus-Malus. : 1, 2, 3 correspondant auxOn considère dans ce problème un système simplifié comportant 3 classes cotisations 50, 70, 100 unités monétaires.  Laclasse d’entrée dans le système est la classe 3. L’assuré bénéficie d’une réduction d’une classe pour chaque année sans accident, d’une pénalité d’une classe par accident. Ces règles conduisent au tableau suivant définissant le système Bonus-Malus. Classes après k accidents (dans l’année)  ClassesCotisations k=0k=1 k2 Entrée100 23 3 3  270 13 3  150 12 3
 Onconsidère un nouvel assuré entrant dans le système. On notepla probabilité qu’il aitkaccidents dans une k (n) anné0p1 ,pcelle nnées. e(kIN)avec<0<qu’il soit en classeiaprèsna(3i1,n0) i (0) (1)  1°)Donnerppuisppour 3i1 . i i (n)  2°)a) Pourn1 donner lesystème (S) des expressions desp(3i1)en fonction des i (n1) p(3j1)et depetp. j01 2000
 2  b)) En déduire la matriceMtelle que : (n) (n1) p p3 3 (n) (n1)p2=M p2.    (n) (n1)    p p 1 1     )Comment pourrait-on utiliser cette matriceM pourétudier la convergence dessuites (n)  iquafera pas les calculs correspondants. pi(3≥ ≥1) ndn→ +∞?On ne (n)  3°) Admettantque les suitlimites notées( esiont desπn i→ +∞, avec=1 i3≥ ≥1) quandπ3+ π2+ π1, déduire de ( a)S) le système vérifié par lesπ(3i1). i  b)En donner, en fonction depetp, la solution enπ,π,π. 013 2 1  4°)On suppose que le nombre (annuel) d’accidents de l’assuré est une v.a.r.Nsuivant une loi de PoissonP(λ). π3    a)Donner les valeurs deπpourλ=0.05,λ=0.10 etλ=0.20. 2  π 1 Quelleinterprétation peut-on en donner ? dP(λ) m P(λ) m  b)On définit l’élasticité d’un système Bonus-Malus parη(λ)=P(λ)est la cotisation espérée m dλ λ pour la probabilité(π(λ),π(λ),π(λà la valeur)) correspondantλdu paramètre. 3 2 1  )Interpréter(λ). ) Donnersa valeur pourλ=0.10.
PROBLEME 2 : Distributions entières composées  Onadmettra que l’on peut permuter les signesΣde sommes doubles à termes positifs.  Lenombre d’«événements» touchant un portefeuille (i.e. un ensemble) de contrats d’assurance pendant une ième période donnée est une variable aléatoire réelle (v.a.r.) entièreN. Le nombre de contrats affectés lors du j 1 (j) événement, s’il se produit, est une v.a.r. entièreN. 2  Onanalyse la loi de la v.a.r.Nnombre total de contrats affectés pendant la période considérée : N 1 (j)(0) N=N[où l’on a poséN=commodité d’écriture0 par]22 j=0 sous les hypothèses suivantes : (j)  (i)Nindépendante des v.a.r.N(j1)1 2 (j) (ii) lesv.a.r.N(j1)sont indépendantes et identiquement distribuées. 2 (j)  OnappelleraNune v.a.r. générique ayant la même loi que lesN. 2 2  Ladistribution deNest dite primaire, celle deNétant dite secondaire. 1 2  OnposeP(N n) ,)N. 1πn=1=2πn=P(N2=n,p=P(N=n) pournI n I.Donner un exemple, en assurance ou dans un autre secteur, où ce modèle pourrait s’appliquer. 1°)
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 3 k (j)(k) (j)  2°)On considère la loi de lN:P Nn(I) a somme deskv.a.r. premières2πn=(=)nN,k1 , 22 j=1 avec : 1n si=0 (0) π =. 2n0 si n1 m (k) (k1) a)Montrer queπ ππ =,k1 . 2m2mr2r r=0 b) ExprimerP(N=n) en fonction des probabilités conditionnellesP(N=n N=k) . En déduire 1 +∞ (k) p= ππn1k2n k=0  enexplicitant, à chaque étape du calcul, les hypothèses (i) et (ii) utilisées. c) Lesdistributions primaire et secondaire étant respectivement PoissonP(λ) etBernoulliB(1,p), 1 déterminer la loi deN.  3°)a) Enutilisant la formule obtenue en 2°) b), montrer queE(N)=E(N)E(N) . 1 2  b)Ce résultat confirme-t-il celui de 2°) c) ?II.Utilisation des fonctions génératrices (f.g.)M m  1°)La f.g. d’une variable aléatoire réelle (v.a.r.)entièreMest définie parg(u)=E(u)=P(M=m)u, Mm0 série convergente pouru< ρoù estun réel1. On admettra que les dérivées successives de(uêtre obtenues en dérivant sous le signe) peuventΣM les termes de la série. a) MontrerqueP(M=0)=g(0) etque la f.g. détermine la loi de probabilité deM. b) Onsuppose>1On considère le moment factoriel d’ordre .k deM défini parE N NN k) (k)=[(1)...(− +1].  )ExprimerE(M) etV(M) en fonction de moments factoriels deM. ) Donnerµen fonction de dérivées de(u) . (k) M c) Déterminerf.g. et moment factoriel d’ordrekd’une v.a.r. PoissonnienneP(λ) . d) Montrerque siMetMsont des v.a.r. entières indépendantes on ag(u)=g(u)g(u) . 1 2M+M MM 1 21 2  2°)a) Al’aide de la formule I. 2°) b), montrer queg(u)=g[g(u)]. N NN 1 2  b)) Retrouverl’expression deE(N) obtenue en I. 3°) a). ) Déterminerla valeur deV(N) en fonction des moments jusqu’à l’ordre 2 deNetN. 1 2  3°)On suppose dans la suite queNune loi de Poisson suitP(λ) .Pour alléger les notations, on 1 1 poseπ =πpourj0. 2j j a) Quedeviennentg(u) ,E(N) etV(N) dans ce cas particulier ? N b) Onappelle distribution de Neyman typeA laloi deN correspondantà une distribution secondaire on .Que sontg(u) ibution? PoissP(λ2)N,E(N) etV(Ncette distr) pour
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4 c) Ladistribution secondaire étant quelconque, établir à l’aide de la formule de Leibnizdonnée ci-dessousune relation de récurrence exprimantpen fonction des probabilités précédentesp,,pn0n1 (n1) . d) Endéduire les premières probabilitéspd’une distribution de Neyman typeA. n
Formule de Leibniz: cette formule donne l’expression de la nième dérivée d’un produitu(x)v(x) de 2 fonctionsu(x) et v(x) dérivables jusqu’à l’ordrenen fonction des dérivées successives des fonctions composantes : n (n)k(nk)k (uv)=C uv . n k=0 ---
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