ISFA 2001 1ere epreuve de mathematiques

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I. S. F. A. 2001-2002 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. - I - Soit la matrice carrée d’ordre 3 12−−2 1  M2=×−1−2.  3 −−221 3On note f l’application linéaire associée à la matrice M dans la base canonique de l’espace euclidien R . La 3notation désigne le produit scalaire standard des éléments u et v de R . a- Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice M. b- Soit e un vecteur propre de norme euclidienne 1 associé à la valeur propre –1. Montrer que tout élément 3u de R peut se décomposer d’une manière unique sous la forme : u(=λu)e+u' avec < u',e> = 0 . Donner les expressions de λ(e) puis de λ(v) pour v orthogonal à e. 3c- On note E l’ensemble des éléments de R défini par : 3 E{=∈uR/ 0=}. (i) Montrer que u∈ E si et seulement si λ=(u) u' . (ii) Soit u et v deux éléments de E . Déduire de (i) que u+v est élément de E si et seulement si u et v sont liés. (On pourra utiliser l’inégalité de Scharwz). 3(iii) Donner les sous espaces vectoriels de R inclus dans E. 3d - Soit F l’ensemble des éléments de R défini par : 3 F{=∈uR/ ≤0}. (i) Montrer que u∈F si et seulement si λ≥(u) u' . (ii) Soit u et v deux éléments de F linéairement indépendants. Montrer que l’élément λ−(v)uλ(u)v n’appartient pas à F. 3En déduire les sous ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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I. S. F. A. _________
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures
Les calculatrices sont interdites.
2001-2002 _________
Concours d'Entrée _______________
- I -Soit la matrice carrée d’ordre 3 1221 M= ×2 12 . 3 22 13 On note fl’application linéaire associée à la matrice M dans la base canonique de l’espace euclidien R . La 3 notation <u,v> désigne le produit scalaire standard des éléments u et v de. R a- Déterminerles valeurs propres et vecteurs propres de la matrice M. b- Soite unvecteur propre de norme euclidienne 1 associé à la valeur propre–1. Montrer que tout élément 3 u de Rpeut se décomposer d’une manière unique sous la forme : u= λ(u)e+u 'avec<u',e> = 0. Donner les expressions deλ(e) puis deλ(v) pour v orthogonal à e. 3 c- Onnote E l’ensemble des éléments de Rdéfini par : 3 E={uR /<u, f (u)>=0} . (i) Montrerque uE siet seulement siλ(u)=.u ' (ii) Soitu et v deux éléments de E . Déduire de (i) que u+v est élément de E si et seulement si u et v sont liés. (On pourra utiliser l’inégalité de Scharwz). 3 (iii) Donnerles sous espaces vectoriels de Rinclus dans E. 3 d - SoitF l’ensemble des éléments de Rdéfini par : 3 F={uR /<u, f (u)>0} . (i) Montrerque uet seulement siF si λ(u)u '. (ii) Soit u et v deux éléments de F linéairement indépendants. Montrer que l’élément λ(v)u− λ(u)v n’appartient pas à F. 3 En déduire les sous espaces vectoriels de Rinclus dans F. + + (iii) Onnote E(respectivement F) les éléments u de E (respectivement de F) tels que<u, e>0 . +3+  Montrerque F={vR /uE<v, u>0} .
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On note E l’ensemble des fonctions continues de [0,1] dans R On définit l’application T qui à une fonction f de E associe la fonction (notée T(f)) définie sur le segment [0,1] par la relation : x T(f )(x)=.f (t)dt  0 On définit de même l’application S qui à une fonction f de E associe la fonction (notée S(f)) définie sur le segment [0,1] par la relation : x xt S(f )(x)=(t)dt .e f  0 a- Montrerque les applications T et S sont des applications de E dans E. b- Onnote STT etS lesapplications composées de S et T. Montrer que, pour f élément de E, la fonctionSTT(f) est égale à S(f)-T(f) et que la dérivée deS(f) est égale à S(f). En déduire les égalitésST=TS=ST c- SoitI (ff ) l’application identique de E dans E. Déduire de b- que les applications I-T et I+S sont des bijections de E dans E réciproques l’une de l’autre pour la composition des applications. En déduire la fonction f de E solution de l’équation : x  f(x) f(t)dt xI (x)(1 x) I(x) (I (x)=1si xA , 0 sinon ). − =×[0,0.5[×+ −[0.5,1]A  0 L’objet des questions d et e est de proposer une interprétation de l’application S. ième d- Ondésigne par Tnle nitéré de l’application T : (f T2)=. , TT(T(f )); etc))=T (T(f)) 3(f )=T(T2(f2. .... On pose T0=I ; T1=T.  x Montrer queT (f)(x)=(xt)f (t)dt . 2  0 Montrer que, pour tout n supérieur ou égal à 2 on a : n1 x (xt) Tn(f )(x)=f (t)dt .  0 (n1)! Indication :on pourra montrer , via un raisonnement par récurrence, que les fonctionsT (f)(x) et n n1 (xt) x f (t)dt ontmême dérivées.  0 (n1)! k n xx e e- Montrerque pour tout x de [0,1] et pour tout entiernon a :e . k=0(nk !+1)! T (f) estconvergente et a pour limite Déduire quetout x de [0,1]la série de terme général {n(x) ,n1} n e 1 S(f)(x). (On pourra montrer l’inégalitéS(f )(x))(x)T (f≤ ×dt ).f (t) ∑ ∫0 h h=1n!
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N* désigne l’ensemble des entiers strictement positifs. Le symbole [ ] désigne la partie entière. On dira qu’un entieraest CE siaest le carré d’un entier et queaest NCE sinon. Soit u la fonction de N* dans N* définie par :  u(a)=asi a est CE.  u(a)=a+a si a est NCE.   ième On note unitéré de la fonctionle nu défini par : u2(a)=uu(u(a)) ;3(a)=u(u (a))=; etc..u (u(a)). 2 2 On se propose de montrer que pouraentier strictement positif la suitenest stationnaire à partir d’unu (a) n certain rang. a- Concluresur la stationnarité de la suite si a est CE. b- Onsuppose que a est NCE. (i) Calculerles suites un(2) ; un(3) ; un(11) ; un(17) . 2 (ii) Onnote p l’entiera et on écrit a sous la formea=p+h .   Calculer u(a) en fonction de p et de h. (iii) Sih est égal à p+1 montrer queu(a) est CE. Conclure. (iv) Onsuppose que h est strictement inférieur à p+1. 2 Montrer quu (a)(p 1)h 1.e u(a) est CE.Conclure. e2= ++ −En déduire qu2h (v) Onsuppose que h est strictement supérieur à p+1. 2 Montrer queu(a) peut s'écrire (p+1)+k avec 0<k<p. En déduire queu (a)est CE.Conclure. 2k+1 c- Onnoteλ(a) la limite de la suite un(a). (i) Montrerque l’applicationa→ λ(a) de N* dans l’ensemble des carrés d’entiers est surjective. 2 A={aN * /λ(a)=eq } (ii) Onnoteqt mqle plus petit entier de Aq. Calculer m1, m2, m3.  2 q+1 qMontrer que mqest égal à+.    2 2    ---
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