ISFA 2001 2eme epreuve de mathematiques option a

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I. S. F. A. 2001-2002 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Les calculatrices sont interdites. PROBLEME 1 - I - 1 On note W(0, A,1, B) l’ensemble des fonctions à valeurs réelles p : t → p(t) définies et de classe C sur []0,1 satisfaisant p(0) = A et p(1) = B . Si A=B=0 on simplifie l’écriture en posant W = W(0,0,1,0) . 0t[]1°) Soit C : t → C(t)une fonction réelle définie et continue sur 0,1 on pose h(ot)= (C(x)− m)dxù ∫01m = C(x)dx montrer que h appartient à W et satisfait : ∫ 001 1 1 2 C(x)h′(x)dx = (C(x)− m)h′(x)dx = (C(x)− m) dx . ∫ ∫ ∫0 0 0 En déduire que si C vérifie la propriété : 1′ C(x)u (x)dx =0 pour toute fonction u de W , ∫ 00 alors C(t) = m pour tout t de []0,1 . t2°) Soit α :t→α(t) et β :t→β(t) deux fonctions réelles définies et continues sur []0,1 on pose A(.t)= α(x)dx ∫01′ Montrer que si (α(t)u(t) + β(t)u (t))dt = 0 pour toute fonction u de W ∫ 001 on a aussi (β(t) − A(t)) u′(t)dt = 0 pour toute fonction u de W ∫ 001 déduire du 1°) que β est de classe C sur []0,1 et vérifie : β′(t)=α(t)pour tout t de []0,1 . - II - 2 2 On désigne par L une fonction (x, y)→ L(x, y) de IR dans IR supposée de classe C . A l’aide de L on définit une application de W(0, A,1, B) dans IR en posant : 1 ℑ(p) = L(p(t), p′(t))dt pour p∈W(0, A,1, B). On suppose qu’il existe un maximum de ℑ sur ∫0W(0, A,1, B) réalisé ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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I. S. F. A. _________
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures
2001-2002 _________
Concours d'Entrée _______________
OPTION A Les calculatrices sont interdites. PROBLEME 1 - I -1  OnnoteW(0,A,1,B)l’ensemble des fonctions à valeurs réellesp:tp(t)définies et de classeC sur[0,1]satisfaisantp(0)=Aetp(1)=B. SiA=B=0 on simplifie l’écriture en posantW=W(0,0,1,0) . 0 t 1°) SoitC:tC(t)une fonction réelle définie et continue sur[0,1]pose onh(t)=(C(x)m)dx0 1 m=C(x)dxmontrer quehappartient àWet satisfait : 0 0 1 11 2 C(x)h(x)dx=(C(x)m)h(x)dx=(C(x)m)dx. 000  Endéduire que siCvérifie la propriété : 1 C(x)u(x)dx=0 pourtoute fonctionudeW, 0 0  alorsC(t)=mpour touttde[0,1]. t 2°) Soitα:t→α(t) etβ:t→β(t) deux fonctions réelles définies et continues sur[0,1]on poseA(t)= α(x)dx. 0 1  Montrerque si(α(t)u(t)+ β(t)u(t))dt=0 pourtoute fonctionudeW0 0 1  ona aussi(β(t)A(t))u(t)dt=toute fonction0 pourudeW0 0 1  déduiredu 1°) queβest de classeCsur[0,1]et vérifie : β′(t)= α(t) pour touttde[0,1]. - II -22  Ondésigne parLune fonction(x,y)L(x,y)deIRdansRsupposée de classeC. A l’aide deLon définit une application deW(0,A,1,B)dansRen posant : 1 (p)=L(p(t),p(t))dt pourpW(0,A,1,B). On suppose qu’il existe un maximum de sur 0 W(0,A,1,B)réalisé pour une fonctionpdeW(0,A,1,B). 0 1°) Montrerque pour toutudeWla fonctionϕdeRdansRdéfinie par : 0u 1 ϕ(s)=L(p(t)+su(t),p(t)+su(t))dtu0 00  possèdeun maximum ens=0. 1 LL2°) Endéduire que :(p(t),p(t))u(t)+(p(t),p(t))u(t)dt=0 . 0 00 00 xy 
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 2 3°) Déduire,du résultat de la première partie, quepvérifie l’équation différentielle (dite d’Euler-Lagrange) : 0 dLL t[0,1] (p(t),p(t))=(p(t),p(t)) . 0 00 0 dtyx   2 4°) Onsuppose, de plus quepest de classeCsur[0,1]: 0  montrerque, finalementpsatisfait (outrep(0)=Aetp(1)=B) sur[0,1]: 0 00 te L L(p(t),p(t))p(t) (p(t),p(t))=cs.(E)0 00 00 y - III -Application :  Unproducteur d’électricité vend du courant à un groupe de consommateurs. Si le courant produit au tempstest x(t) Kw/h le coût de production estπ(x(t)). Le prix payé par les consommateurs est une fonction du tempstp(t). Le profit instantané du producteur, au tempst, est doncx(t)p(t)-π(x(t)), le profit total entret=0 ett=1 est: 0 0 1 [x(t)p(t)− π(x(t))]dt. 0  Lecoût de production, déterminé par des contraintes techniques, est supposé régi par la formule 2 π(x)=αx+ βx+ γ(α,β,γ sontdes constantes connues,α>0). A chaque instanttla demande d’électricitéd(t), par les consommateurs, est liée au prixp(t) de l’instant par la formule :  d(t)=ap(t)+b+c p(t) .  (Quelque soit le prix on a besoin d’au moinsbKw/h au tempst, si le prix est trop élevé on économise doncd(t) est proportionnelle au prix (aveca<0) enfin les consommateurs anticipent l’évolution du marché, d’où la présence d’un terme spéculatifcp(t) avecc0 ).  Enimaginant que le producteur veuille satisfaire toute la demandex(t)=d(t) le profit entret=0 ett=1 est : 1  (ap(t)+b+cp(t))p(t)− π(ap(t)+b+cp(t))dt0 il dépend donc directement de la fonction prix : on le note(p).  Enimaginant que les pouvoirs publics imposent le prix au tempst=0 soitp(0)=Aet au tempst=1 soitp(1)=Bet laisse le marché libre de déterminer son prix entre 0 et 1 le problème, pour le producteur, consiste à déterminer la fonction tp(t) qui lui permettra d’obtenir un profit(p) maximal. 0 0 2 1°) Montrerque sipexiste et est de classeC,pvérifie l’équation(E)du paragraphe II avec 0 0  L(x,y)=xX(x,y)-π(X(x,y)) 2  etX(x,y)=ax+b+cy,π(X)=αX+βX+γ. 2°) Montrer,en dérivant par rapport àtcette équation quepvérifie l’équation différentielle du second ordre : 0 2    2cαp(t)2a(aα −1)p(t)+(b2abα −aβ)p(t)=0     b2abα −aβ2a(aα −1)  soiten posantp=etλ =2 2a(aα −1) cα 2  l’équation:(p′′(t)− λ(p(t)p))p(t)=0 . 3°) Ensupposant quepconstante sur aucun intervalle de n’est[0,1], exprimerpfonction de ent etdes 0 0 constantesp,λ,AetB. 4°) Unefoispainsi déterminée, que reste-t-il à démontrer ? 0 2001
 3 PROBLEME 2  Onconsidère le système d’équations différentielles linéaires : 1 x(t)=y(t) t  pourt0(1)3 2 y(t)= −4t x(t)+y(t) t 0100x(t) OnposeA=;A=;X(t)=de sorte que(1)peut se réécrire : 0 4 0240y(t)    4 1 X(t)=(A+A t)X(t) pourt0.(2) 0 4 t 2 1°) Déterminerune suite de vecteurs deIR(C) telleque : k k0 +∞ 2kY(t)=t Ctsoit solution surRde(2). k k=0 2   sint  Surchacun des intervalles (-,0[et]0,+) montrer queY(t) est de la formea.   2 2 2tcost     2  z(t)sint01 2°) OnposeX(t)= . 2 2z(t)2tcost12  LorsqueX(t) vérifie(2), trouver les équations différentielles vérifiées parz etz. En déduire la solution 1 2 +∗ −∗ générale de(1)surR(et surR). Quelles solutions sont prolongeables àRtout entier ? ---
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