ISFA 2002 1ere epreuve de mathematiques

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I. S. F. A. 2002-2003 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. EXERCICE ∞ 11°- Montrer que l’intégrale ln (1+ )dx est convergente. 2∫ x 02°- Montrer que cette intégrale est égale à π. PROBLÈME A Soit P un polynôme non constant, à coefficients réels positifs dont la somme est égale à 1. Pour P de degré k on notera le polynôme P par : k ki Px()= px avec pour tout i variant de 0 à k : p ≥ 0 et p = 1 . ∑ i i ∑ ii=0 i=01°- Montrer que la fonction polynôme P réalise une bijection du segment [0,1] sur le segment [p ,1] . 02°- On note E l’ensemble des solutions de l’équation P(x)=x appartenant au segment [0,1] . (i) Montrer que le réel 1 appartient à E. (ii) Montrer que, si P’(1) est strictement supérieur à 1, E est égal à deux réels distincts λ et 1. Montrer que dans le cas contraire E est soit réduit au singleton {1}, soit égal au segment [0,1]. Donner le (ou les) polynômes pour lequel (lesquels) E est égal au segment [0,1]. ième 3°- Pour n entier supérieur ou égal à 1 on note P le polynôme n itéré du polynôme P : n (P (x)=P(x) ;P (x)=P(P (x) ; P (x)=P(P (x) ; etc) 1 2 1 3 2(i) Pour P polynôme du premier degré, déterminer la suite des polynômes nP→ . Pour x réel de [0,1] ndonner alors la limite de la suite nP→ (x) n(ii) P est ici de degré k strictement supérieur à 1. On note u la suite définie ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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I. S. F. A. _________
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________
Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. EXERCICE1 1°- Montrer que l’intégraleln (1+2)dxest convergente. 0 x 2°- Montrer que cette intégrale est égale àπ.
2002-2003 _________
Concours d'Entrée _______________
PROBLÈMEA SoitPun polynômenon constant, à coefficients réels positifs dont la somme est égale à 1. PourPde degrékon notera le polynômePpar : k k i P(x)=p xavec pour toutivariant de 0 à k :p0 etp=1 . i ii i=0i=0 1°- Montrer que la fonction polynômePréalise une bijection du segment [0,1] sur le segment [p0,1] . 2°- On noteEl’ensemble des solutions de l’équationP(x)=xappartenant au segment [0,1] . (i) Montrerque le réel 1 appartient àE.(ii) Montrerque, siP’(1) est strictement supérieur à 1,Eest égal à deux réels distinctsλet 1. Montrer que dans le cas contraireEest soit réduit au singleton {1}, soit égal au segment [0,1]. Donner le (ou les) polynômes pour lequel (lesquels)Eest égal au segment [0,1]. ième 3°- Pournentier supérieur ou égal à 1 on notePnle polynômenitéré du polynômeP:  (P1(x)=P(x);P2(x)=P(P1(x) ; P3(x)=P(P2(x) ; etc) (i) PourPpolynômespolynôme du premier degré, déterminer la suite desnP . Pourxréel de [0,1] n donner alors la limite de la suitenP(x) n (ii)Pest ici de degrékstrictement supérieur à 1. On noteula suite définie parnu=P(0) . n n Montrer que la suiteuest croissante et majorée. En déduire sa convergence. Donner suivant le signe deP’(1)-1 la limite de la suiteu. (iii) Etudier,pourxfixé de ]0,1], la limite de la suitenP(x) . (On discutera en fonction de la valeur de n P’(1) et, pourP’(1) strictement supérieur à 1, de la position dexpar rapport àλ.)
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PROBLÈMEB I Pourffonction réelle de variable réelle on noteD(f) la fonctionxf(x+1)-f(x).
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n On note égalementD²(f) la fonctionD(D(f)) et plus généralement pournentier naturelD(f) la fonction définie n n-1 0 par la récurrence :D(f) =D(D(f)). L’application identique sera notéeD(f) . 1°- Dans cette question la fonctionfest un polynôme notéP. (i) MontrerqueD(P) est un polynôme. Donner son degré en fonction du degré deP. n (ii) Onnote(Xvectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à) l’espacen. Montrer que n nn1 l’applicationDrestreinte à(X) est une application linéaire de(X) dans(XDonner la) . n n1 matrice de cette application linéaire sur les bases canoniques de(X) et(X) .Donner le noyau et l’image deD. (iii) SoitQun polynôme. Montrer qu’il existe un polynôme uniquePtel que :
P(0)=0 (P)=Q  Onnote pour la suiteΔ(Q) le polynômeP.2°- On définit la suite de polynômesnPpar la récurrence: n
P1 0 P≡ Δ(P) n n1 (i) Calculerles polynômesP1etP2. (ii) Montrerque le polynômePnest de degrén, que ses racines sont les entiers 0,1,..,n-1 et queP(n)=1 . n X(X1)....(Xn+1)  Endéduire que le polynômePnest égal à :P=. n n!
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n (iii) Montrerque la famille {P0,P1,…,Pn} est une base de(X) etque tout polynômeQ de n (X) s’écrit dans cette base sous la forme :
n k Q=D(Q)(0)×P. k k=0 (iv) Etablirla relation (utile pour la partieII): n PourxetyréelsP(x+y)=P(x)×P(y) . n kn k k=0
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IIDans cette partie la fonctionfn’est plus nécessairement un polynôme. On s’intéresse à la convergence et à la somme (en cas de convergence) de la série de terme général : k u(x)=D(f)(0)×P(x)k0 . k k
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1°- Déduire deIque sifest un polynôme la série ne comporte qu’un nombre fini de termes non nuls et que sa somme est égale àf. x Dans la suitef est de la formexfa(x)=aaest un réel strictement positif.
2°- Etude de la convergence : k (i) CalculerD(f)(0) et en déduire l’expression du terme général de la série. u(x) k+1 (ii) Montrer,par l’étude du quotient, que pour|a1 |<série est, pour tout1 lax, absolument u(x) k convergente. (iii) Montrerque pour|a1 |>1 le terme général de la série ne tend pas vers 0. Conclure.
3°- Calcul de la somme en cas de convergence . (On suppose queaest strictement inférieur à 2et on noteS(x) la somme de la série). (i) CalculerS(0). Montrer que, pournentier,S(n+1)-S(n)=(a-1)S(n). En déduire l’expression deS(n). h (ii) OnnoteShla somme partielle d’ordrehde la série : (S(x)=u(x) ). h k k=0 Soit (x,y) un couple de réels : En utilisant [I-2°-(iv)] montrer queS2n(x+y) peut s’écrire : S(x+y)=S(x)×S(y)+A(x,y)+B(x,y) 2n nn nn où les termesAnetBnpeuvent être majorés en valeur absolue par :
2n   | (x,y) ||u(x) ||u(y) | nk×k∑ ∑ k=n+1 k=0   . 2n   | (x,y|) |u(y) ||u(x) | nk×k∑ ∑ =k=n+1k0En déduire la relationS(x+y)=S(x)S(y) . (iii) Déduirealors la valeur deS(1/2) et plus généralement la valeur deS(1/q) pourq entiernaturel non nul , puis celle deS(p/q) pourpetqentiers naturels (q0). (iv) Déduireaussi que, pourxpositifS(x)=1S(x) . (v) Montrerque, pour |h||<1, on peut majorerS(h)-1| par l’expression : k |S(h)1 ||h| |a.1 | k=1 En déduire queSest continue en 0 et plus généralement queSest continue en tout pointx. x (vi) Conclurefinalement queS(x)=a .
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