ISFA 2002 2eme epreuve de mathematiques option a

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I. S. F. A. 2002-2003 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Les calculatrices sont interdites. EXERCICE 2 2 1 Soit F :(xy, )→F(x,y )une application de dans de classe C à support compact : c’est-à-dire il existe 2un compact K de tel que si (,xy) ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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I. S. F. A. _________
2002-2003 _________
Concours d'Entrée _______________
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Les calculatrices sont interdites. EXERCICE 2 21  Soit: (x,y)F(x,y)une application dedansclasse deC àsupport compact : c’est-à-dire il existe 2 un compactKdetel que si(x,y)n’appartient pas àK:F(x,y)=0. 2  Soitla fonction(F)dedansdéfinie par : 1FF(F)(x,y)=(x,y)+i(x,y) .   2xy   1°) Pour(x,y)(0, 0) onpasse en coordonnées polaires en posantx=cosθ,y=sinθ et G( ,θ)=F( cosθ, sinθ). Exprimer(F)(x,y)en coordonnées polaires c’est-à-dire en fonction de,θ, GG ( ,θ) et( ,θ) . ∂ρ∂θ 2 2 2°) Onnote(x,y)=x+yla norme euclidienne du vecteur(x,y)et pourε >01 (ε)=L(F)(x,y)dx dy. ∫∫(x,y)x+iy  Calculerlim (ε) . + ε→0 PROBLEME  SoitUun ouvert deetfune application deUdans; on dit quefest analytique surUsi pour tout point +∞ n deUexiste une série entière ila Z derayon de convergenceRpositif tel que pour tout strictementz deU0n n=0 +∞ n satisfaisantz<Ron aitf(z)=a(zz) . 0n0 n=0 1°) Montrerque sifest analytique surU:fest indéfiniment dérivable enzsurU. +∞ n Exprimeraen fonction def(ce qui prouve l’unicité de la sérieet dea Zest connu).dès que n0n0 n=0 +∞ n a(zz) s’appellele développement def.centré sur n0 0 n=0 1 2°) Montrerque la fonctionzest analytique surU=\ 0 . +∞ +∞ n n 3°) Onse donne une série entière de rayonR0 :a Z; pour<Rpose ( onz)=a z. Montrer n n n=0n=0 que la fonctiongest analytique sur le disque ouvert de centre 0 et de rayonREn déduire pour .<R la 0 +∞(n) g(0) (k)nk relation :g(z)=z (pourk). 0 0 (nk)! n=k 2002
 2 4°) Soitfune fonction analytique surUouvert connexe non vide de. (On rappelle queUest un ouvert connexe de, s’il est impossible de partitionnerUen deux ouverts non vides disjoints de). 4.1. On noteVdes l’ensemblezdeUfa un développement centré enznul, c’est-à-dire identiquement
ayant tous ses coefficients nuls. Montrer queV etU\V (lecomplémentaire de VdansU) sont deux ouverts deU(éventuellement vides). 4.2. On suppose qu’il existeUtel que(z)=Max locf(z) c’est-à-direqu’il exister>0 tel que : 0 0 zU z<rimplique (z)f(z) . 0 0 4.2.1. Montreren utilisant 4.1. que sif(z)=0 ,fest identiquement nulle surU. 0 4.2.2. Montrer que si(zdifférent de 0 et que pour tout) estkentier supérieur ou égal à 1, , 0 (k) f(z)=0 ,fest constante surU. 0 (k) 4.2.3. Sif(z)s’il existe un entier0 etksupérieur ou égal à 1 satisfaisantf(z)0 onnoteele 00 plus petit entier supérieur ou égal à 1 réalisant cette propriété. Justifier pourzvoisin de 0 a en ne l’écriture (z)=a+a(zz)g(z) avecg(z)=1+(zz) . 0e0 0 a e n>e iθiθiθ 0e En posanta=a ea=a eet=z+ejustifier, pourzl’écriture :voisin de 0 0e e00 1 iθe i(eθ+θ −θ) 0e0 (z)=e a+aρe(1U(z)) avecU(z)<. (0e) 2 En choisissantθ = θpour avoire− θθ + θ=montrer que les0 ,zvoisins de suffisamment e00 iθ de la forme=z+ ρevérifient (z)>f(z) . 0 0 En déduire que dans tous les casfest constante surU. 4.3. SoitΩ un ouvert connexe borné de, d’adhérencenotéeΩetf:Ω →une fonction continue sur Ω, analytique surΩ montrersurque le maximum deΩ estsurégal au maximum de
l’intersection deΩet du complémentaire deΩ, c’est-à-dire avec des notations usuelles : Max (z)=Maxf(z) . z∈Ωz∈Ω\Ω iziz ee2ch2ycos 2x 4.4. Pour=x+iyon note (usuellement)sinz=, justifiersinz=. 2i2 sh(v) sin(u) 2 Pour tout(u,v)demontrer que l’on a toujours :1. v u Calculer le maximum de la fonctionsinz surle disque unité fermé,puis sur le triangle fermé de
sommets(π, 0),(0,π),(−π, 0). En quels points ces maximums sont-ils atteints ? ---
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