ISFA 2002 2eme epreuve de mathematiques option b

Publié par

I. S. F. A. 2002-2003 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrices autorisées. OPTION B PRELIMINAIRES Un contrat d’assurance décès liant un assureur et un assuré engage le premier au versement du capital fixé au contrat en cas de décès de l’assuré pendant la période de garantie, que l’on prendra égale à une année dans ce problème. En contrepartie de la garantie offerte, l’assuré verse, à la souscription du contrat, une « prime » à l’assureur. Le portefeuille d’un assureur est constitué de υ contrats du type ci-dessus. Exprimés dans un multiple convenable d’euros, les capitaux assurés prennent les valeurs 1, 2,…,a . Les assurés sont d’autre part rangés dans b classes d’âge : ceux de la classe j ont la probabilité annuelle de décès p avec p <12 (j=1,2,…,b). j j On suppose de plus qu’au sein de ce portefeuille, les décès sont indépendants : les variables aléatoires réelles (v.a.r.) associées à 2 contrats différents sont des v.a.r. indépendantes. La répartition des υ contrats en capitaux et classes est décrite dans le tableau suivant Classes 1 L j L b Total Capitaux 1 υ υ υ 11 1 j 1bM i υυυ21 ij ibM a υυυa1 aj abυ Total υ L L υ υ1 j badans lequel υ désigne le nombre de contrats de la classe j prévoyant le versement du capital i . On note υ =υ ∑ij jiji =1bavec υ=υ . ∑ jj =1 On pose (j=1,…,b) . ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
Lecture(s) : 272
Nombre de pages : 6
Voir plus Voir moins
L
υ1j
dans lequelυijdésigne le nombre de contrats de laclassejprévoyant le versement ducapitali. On noteυj
a = υiji=1
L
L
convenable deuros, les capitaux assurés prennent les valeurs 1, 2,,a Les assurés sont dautre part rangés dans .b classes dâge : ceux de la classejont la probabilité annuelle de décèspjavecpj< (1 2j=1,2,,b).  On suppose de plus quau sein de ce portefeuille, les décès sont indépendants : les variables aléatoires réelles
La répartition desυcontrats en capitaux et classes est décrite dans le tableau suivant
j
(v.a.r.) associées à 2 contrats différents sont des v.a.r. indépendantes.
1
Classes
υ21
υa1υ1
υib
υabb
L
υ11
On considère la v.a.r.Nijnombre annuel de décès parmi lesυijassurés de la cellule (i,j), puisNj
On poseqj=1pj(j=1,,b) .
b avecυj= υ. j=1
ajυj
b nombre total de décèsNdans le portefeuille :N=Nj. j=1
Nijet le
a = i=1
Ma
Mi
Le portefeuille dun assureur est constitué deυ contrats du type ci-dessus. Exprimés dans un multiple
Total
υ1b
υij
Capitaux 1
b
υ
contrat en cas de décès de lassuré pendant la période de garantie, que lon prendra égale à une année dans ce problème.
En contrepartie de la garantie offerte, lassuré verse, à la souscription du contrat, une « prime » à lassureur.
PRELIMINAIRES
Un contrat dassurance décès liant un assureur et un assuré engage le premier au versement du capital fixé au
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrices autorisées.
Concours d'Entrée _______________
2002-2003 _________
I. S. F. A. _________
Total
OPTION B
2002
a b cellule (i,j), avecSj=SijetS=Sj, le montant cumulé pour le portefeuille. i=1j=1
On pourra noter quegM(0)=P(M=0) .
On admettra que les dérivées successives de peuvent être obtenues en dérivant sous le signeΣles termes
SoitSijla v.a.r. montant cumulé des capitaux versés par lassureur au cours de lannée au titre des contrats de la
) =P(M=m)um, série m0
M(u)=E(u
La fonction génératrice (f.g.) dune v.a.r.M définie par est
convergente pouru≤ ρ est un réel, où1.
b) En déduire la plus grande valeur entière majorantN avec une probabilité au plus égale à 1 %. Comment
II.
Total
5
v.a.r.N(on se limitera à 4 décimales).
avec probabilités de décès :p1=0.01 ;p2=0.05 ;p3=0.10 . a) En utilisant sa loi approchée, donner les tables des probabilités simplesP(N=n) puis cumuléesP(Nn) de la
4
2
10
7
15
interpréter cette valeur ?
5
Capitaux
Classes
30
1
10
portefeuille (académique) deυ=30 contrats, à 2 capitaux et 3 classes dâge, suivant :
1
1
3
2
 Déterminer le rapportP( M==m)1m)1). En déduire une procédure récursive permettant P( M m dobtenir toutes les probabilitésP(M=m) à partir deP(M=0). Rappeler lexpression deP(M=0) en fonction de
3
paramètres. Quelle serait alors la loi approchée deN?
4. On considère une v.a.r.Mdistribuée selon une loi de Poisson de paramètreλ.
λ.
Pour des raisons évidentes de temps de calcul, les applications numériques seront limitées, dans ce problème, au
Total
5.
I.
1. Préciser le domaine de variation deN.
de la série.
3. Dans quelles conditions pourrait-on approcher les lois desNj par des lois de Poisson dont on précisera les
Nj, puis celles deN.
2. Expliciter les paramètres des lois binomiales suivies parNijetNj. En déduire lespérance et la variance de
2002
2
1. a) Préciser le domaine de variation deS.
b) DéterminerP(S=0) puis lespérancem=E(S) et la varianceσ2=V(S) deS.
c) Soitµ3(X)=E(XE(X))3le moment centré dordre 3 dune v.a.r.X. Montrer que siYetZsont des v.a.r. indépendantes, on a3(Y+Z)= µ3(Y) +µ3(Z) . oefficient dasyγ1= µ3(Sed)S. d) En déduire lexpression deµ3(S métrie) puis du cσ3
2. La suite de ce paragrapheII.conduit à la formule récursive de De Pril (1983) donnant la loi (exacte) deS.
a) Déterminer la f.g. dune v.a.r. distribuée selon une loi binomialeB(α, p) .
b) ExprimerSijen fonction deNij. En déduire la f.g. deSijpuis celle deSj.
a b Montrer que la f.g.SdeSsécritgS(u)=∏ ∏pjui+qj i=1j=1
3. On pose, pour 1iaetk1A(i,k)=(1)k+1ijb=1υijpqjjk.
υij .
a) Par la dérivée logarithmique deS, montrer quegS(u)=gS(u)aA(i,k)uki1,u<1 i=1k1
3
b) En dérivant (s-1) fois (s1) cette égalité à laide de la formule de Leibniz1, puis en prenantu=0, montrer
min(a,s)[s i légalité, pours1,×P(S=s)=∑ ∑A(i,k)P(S=ski) où[désigne la partie entière dex. i=1k=1
4. Application numérique (portefeuilleI.5.).
a) A partir des coefficientsA(i,k) donnés ci-dessous
k
1
2
3
4
5
6
7
1
1,279106
- 0,131869
0,014156
- 0,001547
0,000171
- 0 000019  ,
0,000002
 i
2
1,928761
- 0,163054
0,015767
- 0,001637
0,000175
- 0,000019
0,000002
n 1Formule de Leibniz ou la dérivéenièmedun produituvde fonctions : (uv)(n)=Cnαu(α)v(n−α). α=0 2002
0,00015
0,00005
6
5
0,00303
0,00718
0 ,00043
0,00119
0,05820
0,00001
0,01574
0,03161
0,99993
0,99979
0,99999
0,99998
0,98796
0,99514
0,99817
0,99935
0,94061
0,97222
P(Ss)
P(S=s)
4
3
2
1
0
s
Compléter la table des probabilités simples et cumulés deSci-après :
2002
4
b) En particularisant les résultats deII.1., donner les caractéristiquesm,σet1
de ce portefeuille.
v.a.r.Ssont respectivement données par
+21mσ
c) Les approximations Normale etNP (pour Normal Power)(avec correction de continuité) de la loi de la
14
P(n)(Ss)Φ
P(np)(Ss)Φγ31+γ92+1+γ6s+12σm. 1 1
9
10
7
8
12
13
11
15
14
13
16
15
10
9
12
11
6
5
8
7
2
1
4
3
0,99962
0,99901
0,99999
0,99998
0,99995
0,99986
dannée.
III.En revenant au cas général, on analyse en début dannée le résultat financier (aléatoire) de lassureur en fin
1
17
s)
0,10881
P(np)(S
0,26837
0,46275
0,64474
0,78607
0,97031
0,98639
0,99406
0,99752
de fin dannée.
On noteπle total des primes perçues par lassureur au titre desυcontrats du portefeuille etRla v.a.r. résultat
 On utilisera dans ce paragraphe lapproximationNPde la loi deSdonnée enII.4.c).
a) Interpréter cette contrainte.
fixée.
b) Donner en fonction dem,σet1lexpression de la fonction de répartition deR:F(x)=P(R<x). 2. Les choix de lassureur sont dictés par la contrainteP(R<0)≤ εεest une (faible) probabilité quil sest
1. a) ExprimerRen fonction deπetS.
(β > compatible avec la contrainte de lassureur ?0) . Quelle est la valeur minimum de
3. La prime demandée à chaque assuré est proportionnelle à son espérance, soitβEij la cellule ( dansi,j)
c) Donner la prime totale minimumπmincompatible avec la contrainte. d) Que vaut-elle pour le portefeuilleI.5. siε=0,01 (le quantile dordre 0,99 de la loi NormaleN(0,1)
b) Celle-ci est-elle remplie si la prime demandée à chaque assuré coïncide avec son espérance dindemnisation, soitEij=E(Sij la cellule () dansi,j) ?
5
2002
Compléter le tableau de leurs valeurs ci-après.
standard est 2,326).
0,12077
0,24473
0
Que pensez-vous de ces approximations ? sP(n)(Ss)
0,89041
0,41637
0,99620
0,99918
0,95625
0,98569
0,99986
1
2002
Dans la cadre dun partage de risques avec un « réassureur », lassureur peut souscrire un traité de réassurance
IV.
(dit Stop Loss) de « priorité »L. Par ce traité, le réassureur laisse à la charge de lassureur le montant
SSL Srsi =LS>L
le complément àSétant, contre paiement dune prime au réassureur, à la charge du réassureur.
1. Donner, en fonction de la loi (exacte) deS, la loi deSrsoitP(Srs) puis son espéranceE(Sr
) .
2. (Question ouverte). Indiquer comment lassureur pourrait intégrer un tel traité dans sa gestion du risque.
---
6
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.