ISFA 2003 2eme epreuve de mathematiques option b

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I.S.F.A. 2002-2003Concours d’entr´eeDEUXIEME EPREUVE DE MATHEMATIQUESDur´ee: 4 heuresCalculatrices autoris´eesOPTION BIntroductionLa premi`ere partie de l’´epreuve est consacr´ee a` la caract´erisation deslois v´erifiant la relation dite de Panjer. La seconde partie pr´esente l’algo-rithme de Panjer qui permet de calculer certaines sommes al´eatoires de va-riables al´eatoires discr`etes. La derni`ere partie est consacr´ee `a un mod`ele tr`essimple qui permet de comprendre pourquoi une tarification a posteriori enassurance automobile (c’est-`a-dire prenant en compte le nombre d’accidentsd´eclar´es par un assur´e) p´enalise fortement les assur´es qui ont eu un accidentla premi`ere ann´ee, mais ne favorise que faiblement ceux qui n’en ont pas eu.Mˆeme si certaines questions sont motiv´ees par des probl`emes actuariels, au-cune connaissance dans le domaine de l’assurance n’est requise. Les troisparties sont ind´ependantes.1 Etude et caract´erisation des lois v´erifiantla relation de r´ecurrence de PanjerOn repr´esente le nombre d’accidents a` prendre en charge par une compa-gnie d’assurances sur une p´eriode donn´ee par une variable al´eatoire discr`eteN, a` valeurs dans N, et dont la loi est d´ecrite par les p = P(N = k) pourkk ∈N. Parmi ces distributions on s’int´eressera ici a` celles v´erifiant la relationde r´ecurrence de Panjer: b∗∃a< 1, b∈R, ∀k ∈N , p = a+ p (1)k k−1kLe but de cette partie est de caract´eriser les lois v´erifiant (1) ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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I.S.F.A.
2002-2003 Concoursdentr´ee
DEUXIEME EPREUVE DE MATHEMATIQUES
Introduction
Dur´ee:4heures Calculatricesautorise´es
OPTION B
Lapremi`erepartiedel´epreuveestconsacre´ea`lacaracte´risationdes loisve´riantlarelationditedePanjer.Lasecondepartiepr´esentelalgo-rithmedePanjerquipermetdecalculercertainessommesale´atoiresdeva-riablesal´eatoiresdiscre`tes.Laderni`erepartieestconsacre´e`aunmode`letre`s simple qui permet de comprendre pourquoi une tarification a posteriori en assuranceautomobile(cest-`a-direprenantencomptelenombredaccidents de´clar´esparunassure´)p´enalisefortementlesassure´squionteuunaccident lapremi`ereanne´e,maisnefavorisequefaiblementceuxquinenontpaseu.
Mˆemesicertainesquestionssontmotive´espardesproble`mesactuariels,au-cune connaissance dans le domaine de l’assurance n’est requise. Les trois partiessontind´ependantes.
1Etudeetcaract´erisationdesloisve´riant larelationdere´currencedePanjer Onrepre´sentelenombredaccidents`aprendreenchargeparunecompa-gniedassurancessurunepe´riodedonne´eparunevariableale´atoirediscr`ete N,a`valeursdansN´dceiretaplrsetseiolaltnodte,pk=P(N=k) pour kNci`iesarelvscaleant´erilatilareno.Pimradsecrtsitubinsiosont´ineser dere´currencedePanjer:   b a <1, bR,kN, pk=a+pk1(1) k Lebutdecettepartieestdecaracte´riserlesloisve´riant(1). RappelonsquelaloidePoissondeparame`treλrctidte´serape k λ λ kN, pk=e , k! etquelaloibinomialedeparame`tresnNetp]0,ce´dtse[rapetir1   n k nk 0kn, pk=p(1p) k etpk= 0 pourk > n. Rappelonsler´esultatsuivantsurlesse´riesentie`res:pourcNet|z|<1, X k z1 c(c+ 1). . .(c+k1) = c k! (1z) k=0 1.MontrerquesiNve´rie(1)etquea= 0, alors N suit une loi de Poisson dontonpr´eciseraleparame`tre. 2.Ond´enitladistributionbinomialen´egativedeparame`tresα >0 et p]0,1[ par   α+k1 α k kN, pk= (1p)p k o`upourxRetkN,   x x(x1). . .(xk+ 1) =. k k! Calculer sa moyenne et sa variance en fonction deαet dep.
3. Quelledistribution obtient-on lorsqueα= 1? 4.LorsqueNve´rielarelationder´ecurrence(1)aveca6= 0, montrer que pour toutkN, k1 Y k a pk=p0(Δ +i) k! i=0 pouruncertainΔ`apr´eciser. 5. Montrerque pour toutkN,   Δ +k1 ΔkΔ pk= (1p)a(1a) k 6.Ende´duireselonlesignedeala loi de N. 7.Conclurequelesloisv´eriantlarelation(1)sontexactementlesdis-tributionsdePoisson,binomialesetbinomialesn´egatives. 8.Parmices3typesdedistributions,lequelchoisiriez-vouspourmode´liser laloideNsiune´etudestatistiquevousmontraitquelavarianceestim´ee deNestbeaucoupplusgrandequelamoyenneestime´edeN?
2 Algorithmede Panjer Onsinte´ressemaintenanta`lavariableal´eatoire N X X=Uk k=1 ou`NetlesUk,kNeseri`ntseurlevaeD.esvariabsontdotrisea`elas´lae plus lesUktnoses,idantepenind´idtsemtnqieuedtnubirsee´led,ociounmme d´ecriteparlesqk=P(Ui=kmmosaL.Nlluntseearep,)teind´ependantesde convention siN´De=.0nodsinsssleeplurancsp´eioere´talealriabnevaedu Y`avaleursdansNve´nua`tnemellenontidionc`enementApar: X E(Y|A) =kP(Y=k|A) kN 1. Montrerque pourjNetnN,  ! n X j E U1|Ui=j= n i=1
2.D´enissonspourjNetnNse´tiliblesproba n q j=P(U1+∙ ∙ ∙+Un=j). Montrer que pourj,kNetnN,  ! n(n1) X qkq jk P U1=k|Ui=j= n q j i=1 3.SupposonsdanslasuitedecettepartiequeNv´erielarelation(1)de la partie 1. Soitrk=P(X=k) pourkN. Exprimerr0en fonction desqket des pk. 4.Alaidedesquestionspre´c´edentes,montrerquepourjN,  !! n X X U1n q . rj=a+bE|Ui=j pn1j j n=1i=1 5.Enutilisantlesquestionspr´ec´edentes,d´emontrerlaformuler´ecursive appele´ealgorithmedePanjer: j  X bk jN, rj=C a+qkrjk j k=1 o`uCestuneconstantea`pre´ciser.
3Mode`lebons/mauvaisconducteurs SoitX1telesempnnnaes´eiota´derircetnavvarilaal´eableujqsuuarp-e mier accident d’un conducteur,X2tereimerpelertnepsemetlemeuxi`lede ie`mei`eme accident et pouri3 soitXile temps entre leiaccident et le (i+ 1) accident. On suppose que les (Xi)iNdtne-siitnemeuqsnoitantsetidnd´epend tribu´esselonuneloiexponentielledeparam`etreλvala`essere´tni.Onsebliaar ale´atoireNd´ecrivantlenombreNndpetuananneeen´.daccdinest 1.OnrappellequuneloiGammadeparame`tresnNetλ >0 est donn´eeparsadensite´: n n1λt λ te + tR, fn,λ(t) =. (n1)!
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