ISFA 2004 1ere epreuve de mathematiques

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I. S. F. A. 2004-2005 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite PROBLEME I +On note E l’espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles, continues et définies sur R . 1Pour f ∈E on note Φ(f) la fonction définie pour x positif ou nul par Φ(f)(x) = f(xt)dt. ∫ 0PARTIE A : L’ENDOMORPHISME Φ : xf(u)du∫ 01°- Montrer que pour x strictement positif Φ(f)(x) peut s’écrire . x+*2°- Déduire que la fonction Φ(f) est continue et dérivable sur R et est continue en 0. 3°- Montrer que l’application Φ est un endomorphisme injectif de E. xsin(1/x) pour x > 0⎧4°- On donne la fonction h définie par : h( x ) = . ⎨h(00) =⎩La fonction h est elle un élément de l’image F de E par Φ ? Caractériser cette image. 5°- Montrer que tout réel λ ∈]0,1] est valeur propre de Φ . Donner les vecteurs propres associés. 6°- Soit n un entier naturel. On considère le sous espace vectoriel F de E engendré par les fonctions n{f ,..,f ; g ,…g } où les fonctions f et g sont définies par : 1 n 1 n i ii⎧f:x→=f(x) x⎪ii. ⎨ ig:xg(x) xlnx pour x non nul et g( 0)=0⎪⎩ i(i) Donner la dimension du sous espace F . n(ii) Montrer que la restriction Φ de Φ à F est un endomorphisme. Donner une matrice de Φ . n n n2(iii) Déterminer la fonction f de E telle que Φ(f)(x)=+(x x)lnx. PARTIE B : L’APPLICATION Φ ET PROPRIÉTES DE MONOTONIE 1°- Montrer que si ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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I. S. F. A. _________
2004-2005 _________
 Concoursd'Entrée  _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite PROBLEME I + On noteEl’espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles, continues et définies surR. 1 PourEon noteΦ( f )la fonction définie pourxpositif ou nul parΦx )( f )(=f ( xt )dt. 0 PARTIEA :L’ENDOMORPHISMEΦ: x ( u )du 0 1°- Montrer que pourxstrictement positifΦ( f )(x )peut s’écrire. +* 2°- Déduire que la fonctionΦ( f )est continue et dérivable surRet est continue en 0. 3°- Montrer que l’applicationΦest un endomorphisme injectif deE. x sin(1/ x)pourx>0 4°- On donne la fonctionhdéfinie par :h( x )=. h(0)=0 La fonction h est elle un élément de l’imageFdeEparΦ? Caractériser cette image. 5°- Montrer que tout réelλ0,1]est valeur propre deΦ. Donner les vecteurs propres associés. 6°- Soitn unentier naturel. On considère le sous espace vectorielFn deEpar les fonctions engendré {f1,..,fn; g1,…gn} où les fonctionsfietgisont définies par : i xf :f ( x)=x i i . i g :xg ( x)=xx lnpourxnon nul etg (0)=0 ii i (i)Donner la dimension du sous espaceFn. (ii)Montrer que la restrictionΦdeΦàFnest un endomorphisme. Donner une matrice deΦ. n n 2 (iii) Déterminer la fonctionf deE telle queΦ( f )(x )=( x+x )lnx.
PARTIEB :L’APPLICATIONΦMONOTONIEET PROPRIÉTES DE1°- Montrer que sifetgdeEvérifientf galorsΦ( f )( g ). 2°- Montrer que sifdeE estcroissante (respectivement décroissante) alorsΦ( f )est aussi une fonction croissante (respectivement décroissante). 3°- Montrer que sif deEest croissante (respectivement décroissante) alorsΦ( f )f (respectivement Φ( f )f)
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2 PARTIEC :EITÉRÉS DETUDE DESΦ: n Pournentier strictement positif on désigne parΦl’applicationΦDΦD....DΦ.  n fois 1°- Soitfune fonction deEcroissante, positive et continue. n Pourxpositif ou nul on noteu (x )le réelΦ( f )(x ). n (i) Donner l’expression deu (0). n (ii) Montrer que pour tout entiernstrictement positif la fonctionu (x )est croissante. n * (iii) Montrer que pour tout réelxsa la suite{unN( x ),n}est décroissante et positive. En déduire convergente. On notel(x)cette limite. Montrer que la fonctionl( x )est croissante. (iv) Pourxstrictement positif montrer l’égalité :( u'( x )+...+u' (x ))=f ( x )u (x ). 1 nn En déduire que, pour0<x<ysérie de terme général, lau (y )x )u (est convergente. n n +* (v) Conclure alors que la fonctionlest constante surR. Montrer ensuite que cette constante est égale
àf(0). 2°- Etendre succinctement les résultats obtenus à la question précédente aux fonctions deEdécroissantes et
positives. 3°- Soitfune fonction deEpositive. On noteSetI les fonctions définies par : S( x )=( t)sup f et( x )=)( tinf f. t[ 0 ,x ]t[ 0 ,x ] Montrer que les fonctionsSetIappartiennent à l’ensembleE. En appliquant aux fonctionSetI les résultats n * des questions précédentes montrer que la suite{Φ( f )(x ),nNconverge pour toutxversf(0).Etendre ce résultat à toute fonctionfdeE.PROBLEME II * Soit{ p,kN }la suite des entiers premiers ordonnés par valeurs croissantes. (On rappelle qu’un entier k premier a exactement deux diviseurs distincts 1 et lui-même). Pour x et y réels positifs avecx>y on note : 1 si l'ensemble E={i tel que y<pix }= ∅ P( x, y )=. i p sil'ensemble E≠ ∅i i / y<px
On note aussi :K(x)=P(x,0).
PARTIEA :FONCTION MAJORANTE DE LA FONCTIONK.
1°- Donnerp1,p2etp3et l’expressiondeK(x)pourxréel positif inférieur ou égal à 6. Donner les points de
discontinuités de la fonctionK.
2°- Montrer pour0zyxla relation :z )P( x,=P( x, y )P( y,z ).
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3°- Soitnun entier pair supérieur ou égal à 2. On posen=2m.m (i)Montrer que l’entierP(2m+1,m+1)divise l’entierC(nombre de combinaisons demobjets pris 2m1
dans 2m+1(On pourra remarquer que chaque entier premier du produit objets.P(2m+1,m+1) divise m C). 2m+1 m2m (ii)En déduire la majorationP(2m+1,m+1)C2. 2m+1
4°- On note[x]la partie entière dex. [ x ] Déduire de la question 3 la majoration :K( x )4.
PARTIEB :FONCTION MAJORANTE DU NOMBRE DED’ENTIERS PREMIERS INFÉRIEURS À UN RÉELX. On noteNla fonction définie par :N(x): nombre d’entiers premiers inférieurs ou égaux àx. Pourx2on noteS(x)la fonctiondéfinie parS( x )=ln( K( x )). 1°- Déduirede la partie A un majorant deS(x). 2°- Soitfune fonction définie sur[2,[à valeurs réelles, dérivable et à dérivée continue. (i)Montrer que pourkentier on a : p k S( t) f'( t)dt= −) f (ln( pp )+)S( p×f (p ). 2i ik k i=1,..,k (ii)Déduire pour tout réelxsupérieur ou égal à 2 la relation : x ln( p) f (p )=S( x )×f ( x )) fS( t)dt'( t. ∑ ∫ i i 2 i=1,..,N ( x ) 1 3°- On prend pour fonctionf la fonctionf ( x )=. ln x ⎡ ⎤ x dt Déduire du 2° l’inégalité :N( x )2ln2+. 2 2ln x (ln t) ⎣ ⎦ x dt 4°- Majoration de l’intégrale :: 2 2 (ln t) u e (i)Etudier sur l’intervalle[ln2,[la fonctionu. Montrer qu’il existe un unique réel (notéu0) 2 u u 0 e2 strictement supérieur àln2 tel que=. 2 2 u (ln2) 0 (ii)En déduire : u  ln x e x0 u du(ln xln2x>e) pour.  ln2 2 2 u (lnx ) x dt (iii)Déduire alors une majoration de. 2 2 (ln t) u 0 5°- Déduire que, pourxsupérieur àel’inégalité :N( x )4ln2. ln x
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