ISFA 2004 2eme epreuve de mathematiques option a

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# I. S. F. A. 2004-2005 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite OPTION A EXERCICE : 2 22()−+1tx x 12⎛⎞ e−t1. Montrer que la fonction Gx()=+e dt dt est constante sur R. Que vaut cette ⎜⎟ 2∫∫⎝⎠ 0 0 + tconstante ? +∞2−tEn déduire la valeur de l’intégrale : edt, utile pour la suite. ∫ 02b22 +∞−−au .2u2. Pour ab>0 e t ≥ 0 on pose : I()ab,.= e du. ∫ 0Au moyen de 1., calculer Ia(),0 . Justifier l’existence de l’intégrale Ia( ,b ) pour a > 0 et b ≥ 0 . 13. Etablir : Ia(),b = I()1,ab, puis pour b > 0 : a∂I()ab,2=−bI(b,a). ∂ber * +4. Quelle équation différentielle du 1 ordre est vérifiée par la fonction bI→ ()a, sb ur R ? En déduire la valeur de I()ab, . PROBLÈME : On utilise les conventions usuelles d’écriture du calcul matriciel. ⎡ x ⎤1⎢ ⎥xn 2⎢ ⎥Un vecteur x de R est spontanément écrit en colonne x = . Si on veut l’écrire en ligne, on écrit ⎢ ⎥⎢ ⎥x⎢ ⎥⎣ n ⎦T nT Tx = xx,, …,x . De sorte que si y est un autre vecteur de R : xyy= x désigne le produit scalaire usuel [ ]12 nde x par y. nPour un vecteur fixe gde , R et B une matrice symétrique fixe nnx , on définit la fonction nm de RR dans par : 1TTmp()=+gp pBp . 2T()Le but du problème est l’étude du minimum (éventuel) de m sur les boules pp= p≤≤ααoù 0 ≤+∞. TI - 1. Montrer que si g appartient à Im (B) et que B est semi définie positive ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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I. S. F. A. _________
20042005  _________
 Concoursd'Entrée  _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite OPTION AEXERCICE : 2( ) 2 2 1+t x x1 te 2 1.Montrer que la fonctionG(x)= ⎜e dt⎟ +dt estconstante surR. Que vaut cette  0 01+t 2 constante ? + ∞ 2 t En déduire la valeur de l’intégrale :e dt, utile pour la suite.  0 2 2 2b + ∞ a u. 2 u 2.Poura> 0 etb0on pose :(a,b)=e.du.  0 Au moyen de 1., calculerI(a, 0). Justifier l’existence de l’intégraleI a,b)pouraet> 0b0. 1 3.Etablir :I(a,b)=I(1,ab), puispourb> 0: a I (a,b)= −2bI(b,a). b er*+ 4.Quelle équation différentielle du 1ordre est vérifiée par la fonctionbI(a,b)surR? En déduire la valeur de(a,b). PROBLÈME : On utilise les conventions usuelles d’écriture du calcul matriciel. ⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ n2 Un vecteurxdeRspontanément écrit en colonne estx=. Si on veut l’écrire en ligne, on écrit ⎢ ⎥ # ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ nTTn T R:y=y x désigne le produit scalaire usuel =[x1,x2,,xn. De sorte que siyest un autre vecteur de dexpary. n Pour un vecteur fixedeR, etB unematrice symétrique fixenxn, on définit la fonction n mdeRdansRpar : 1 T T m(p)=g p+p Bp. 2 T ( ) Le but du problème est l’étude du minimum (éventuel) demsur les boulesp=p pαoù 0α≤ +∞. T I  1.Montrer que sigappartient à Im (B) et queBest semi définie positive (c’estàdirep Bp0pour nn toutpdeR)mpossède un minimum (global) surR. Indication : calculerm(p+w)m(p)lorsque n pvérifieBp =getwest quelconque dansR. 2.En utilisant des coordonnées pour le vecteurget la matriceB, calculer le gradientm(p)demenp. 2004
2 n 3.En déduire, réciproquement, que simun minimum (global) sur possèdeR:à appartient ( ) ImBetBest semi définie positive. T 4.SiB estdéfinie (strictement) positive (c’estàdirep Bp> 0 pour toutp0) montrer qu’il existe un *n unique vecteurpdeRen lequelmadmet un minimum (global) strict. n 5.Bétant une matrice symétrique quelconque, montrer quepréalise le minimum (global) demsurR, si et seulement sim(p)est un minimum local dem.
II EXEMPLE 1α0⎢ ⎥ On prendn=3 etB=α1β. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0β1 ⎣ ⎦ 1.A quelle condition (surαetβ)Bestelle semi définie positive ? définie (strictement) positive ? ère 2.On suppose que la 1condition est réalisée, mais pas la seconde. 1⎢ ⎥ 2.1On prendg= +β. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎣ ⎦ Montrer quempossède un minimum global obtenu sur une droite. Trouver l’équation de cette droite. 3 2.2Trouver un vecteurgdeRpour lequelinfm p)= −∞. 3 pR
III suppose maintenant (et dans toute la suite) que OnBest une matrice symétrique définie (strictement) positive et on s’intéresse au problème de trouver les vecteursp réalisantle minimum dem(p) surla boule ( ) euclidiennepαα>0. n 1.Pourpq(deux vecteurs deR)montrer que l’on a :
T (pq)m(q)< m(p)m(q). En déduire que la fonctionpm(p)est strictement convexe : c’estàdire vérifie pourpqett0,1: ( )( ) m(tp+1t q)<tm(p)+1t m q). ( ) 2.Justifier l’existence d’un unique vecteurp(que l’on noterap=p) réalisant le minimum demsur la boule de centre 0 et de rayonα. * ( ) α α 3.Montrer qu’il existeα0> 0tel que pour tout0:pconstant (on notera ce estp:p). Pour ( ) 0<<α0montrer quepαest situé sur la sphère de centre 0 et de rayonα. 4.1 Enconsidérant la fonction ( )( )( ) α ψt(p)=m(p+t(ppα))m(pα)t[0,1. αα Etablir pour0,0[la relation T ( )( ) (ppα)m(pα)0 pour toutpvérifiant pα. 4.2En déduire par un raisonnement géométrique (sans utiliser de calcul) que ( )( ) ( )= −λ α m pα.pλα0.est un scalaire 2004
3 5. Réciproquement,toujours pourα0,α0[, montrer que sipvérifiep=α etm(p)= −λp (avecλ0)( ) on obtient nécessairement :p=pα. n  Indication: Utiliser (après l’avoir justifié) le fait quep réalisele minimum (global) surR dela fonction : 1 T T ( ) pm(p)=g p+p B+λI p. 2
IV  EXEMPLE 172 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥ On prendg=6 3B= −2 102. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 112 7⎣ ⎦⎣ ⎦ 1.Montrer queBest définie (strictement) positive. * 2.Déterminerp. ( ) 3.Déterminer la courbepα, (du moins une paramétrisation) pour0.
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