ISFA 2005 2eme epreuve de mathematiques option a

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\\#\\\\ I. S. F. A. 2005-2006 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite OPTION A EXERCICE 1 Le but de cet exercice est le calcul des deux intégrales +∞ +∞dt dt−−ttCx==e cos xt et Sx e sin xt . () () () ()∫∫oo11) Etablir les relations : Cx''=−xSx− Sx () () ()21Sx=+xCx C x .() () ()212) En déduire que C et S sont deux fonctions, de classe C , vérifiant sur le système différentiel : ⎛⎞2⎧21++x ux' xux=−vx⎜⎟ () () ()⎪⎝⎠ ⎨221x vx' xvxux . () () ()⎪⎩22−+1tx2 ()x 12⎛⎞ e−t3) Montrer que la fonction Gx=+e dt dt est constante sur . Que vaut cette constante ? ()⎜⎟∫∫ 2oo⎝⎠ 1+ t()+∞ 2−tEn déduire la valeur de l’intégrale edt puis la valeur de C 0 . ()∫o4) Montrer que si αβx et x sont deux fonctions dérivables vérifiant sur : () ()2⎧21+αx '()xx=−β() ⎧α=0 π() ()⎪ ⎪ et ⎨ ⎨2β=00 .21+βx '=α() () () ⎪⎪ ⎩⎩22Alors α+xxβ =πpour tout x de . En faisant un changement de fonction inspirée par ce résultat, trouver () ()αβx et x . () ()5) Trouver Cx et Sxpour tout x réel. () ()PROBLEME k kn= ou pest muni de la structure euclidienne standard. On utilise les conventions usuelles du calcul ()⎡x ⎤1⎢ ⎥x2⎢ ⎥matriciel un vecteur x est écrit spontanément en colonne x = . Si on veut l’écrire en ligne, on écrit ⎢ ⎥⎢ ⎥x⎢ ⎥⎣ k ⎦T k TTx = xx,, …,x . De sorte que si y est un autre ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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I. S. F. A. _________
20052006  _________
 Concoursd'Entrée  _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite OPTION A EXERCICE 1 Le but de cet exercice est le calcul des deux intégrales +∞ +∞ dt dt tt C(x)=ecos(xt) etS(x)=esin(xt). otot 1 1)Etabli : r les relationsC'(x)= −xS'(x)S(x)2 1 S'(x)=xC'(x)+C(x). 2 1 2)En déduire queCetSsont deux fonctions, de classeC, vérifiant sur\le système différentiel : ⎛ ⎞ 21+u'(x)+xu(x)=−v(x) 2 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2 21+v'(x)+xv(x)=u(x). ⎝ ⎠ 2 2 1+t x 2( ) x21 ⎛ ⎞e t constante sur\. 3)Montrer que la fonctionG(x)=e dt+dtvaut cette constante ?est Que oo 2 ⎝ ⎠1+t ( ) +∞2 t En déduire la valeur de l’intégralee dtpuis la valeur deC(0). o 4)Montrer que siα( )etβ(x)sont deux fonctions dérivables vérifiant sur\: 2 0π 2 1+ α'(x)=−(x)α = ( )( )  et2 2 1+ β'(x)(x)β(0)=0 . ( )2 2 Alorsα(x)+(x)= πpour toutxde\. En faisant un changement de fonction inspirée par ce résultat, trouver α( )etβ(x). 5)TrouverC(x) etS(x)pour toutxréel. PROBLEME k \(k=noup)est muni de la structure euclidienne standard. On utilise les conventions usuelles du calcul ⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ matriciel un vecteurx estécrit spontanément en colonnex=. Si on veut l’écrire en ligne, on écrit ⎢ ⎥ # ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ kTkT T , , ,calaire dexpar =(x1x2xk)sorte que si. Deyest un autre vecteur de\,y=y xdésigne le produit s T yet=x xla norme (euclidienne) du vecteurx.
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SoitX unematrice à coefficients réels ayantp lignesetn colonnes,on note aussiXl’application linéaire de n pT \ dans\ayantXla matricepour matrice relativement aux bases canoniques.n lignespcolonnes, p n transposée deXest encore identifiée à l’application linéaire de\dans\correspondante. I T T 1.Justifier le fait que les valeurs propres deXet deXXsont positives ou nulles et l’existence d’une base orthonormée de vecteurs propres de chacun de ces endomorphismes. T1 2.Siλ ≠0est une valeur propre deXetuvecteur propre unitaire correspondant, montrer que unv=Xuest λ 1 T TT aussi un vecteur propre unitaire deXassocié àλvaleur propre deX. Montrer queu=X v. λ T 3.Montrer que 0 est valeur propre deXsi et seulement siker( )n’est pas réduit à0. On noteαl’ordre de T multiplicité de 0 en tant que valeur propre deXet on poser=n− α, montrer quer=rg(X)(la dimension de T Im( )). En déduire que sip eststrictement supérieur àr:0 est aussi valeur propre deX. Quel est l’ordre de T multiplicité de 0 en tant que valeur propre deX? T 4.On désigne parλ,i=1n,les valeurs propres deX, classées par ordre décroissant, répétées autant de fois i que leur ordre de multiplicité. Par définition der, sir<n:λ =λ == λ=0. r+1r+2n A chaque valeur propre on associe une base orthonormée du sous espace propre correspondant ; de sorte que l’on n obtient une base orthonorméeu,u,,ude\satisfaisant, pouri=1n,uiest un vecteur propre unitaire de 1 2n T Xassociée à la valeur propreλ. i T I Montrer queu,u,,uest une base deker( ), queu,u,,uest une base dem( )et que r+1r+2n1 2r 1 pelons q v,vest une base deIm( )(Rap uevi=Xui i=1r). 1r λ i T Enfin on notevvune quelconque base orthonormée dekerpermettant de compléterv,ven une r+1p( )1r p base orthonormée de\. r r T nT T 5.Montrer queu uest le projecteur orthogonal de\surImet quev vest le projecteur orthogonal ( )i ii i i=1i=1 p p de\ surIm( ). Montrer que pour toutbde\2 P 2 T in Xxb=v b. n( ) i x\ i=r+1 r T 6.Montrer que= σv uoù l’on a poséσ =λ pouri=1r. i i ii i i=1 Lesi1rs’appe ompositionen valeurs σi(=)llent les valeurs singulières deXet la somme précédente la déc singulières deX. 2 207.Pour la matriceX=. Trouverλ,λ,λ ;u,u,uv,v. ⎢ ⎥1 21 2 31 2 3 01 1 ⎣ ⎦
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3 II p 1.Pour chaqueyde\on noteX(y) rojectio pla pn orthogonale deysurIm( ). 1n Montrer quep(y)est un sous espace affiné de\. A quel sous espace vectoriel estil parallèle ? Montrer (X) 1 qu’il existe un uniquey’dans l’inteX pykerX. Montrer que l’applicationy' est rsection{X( ))(( )) (} + +1+ linéaire. On la note. SiXest bijective, montrer que=Xappelée la pseudo inverse de. estX. r +1T 2.Montrer que=u v. i i σ i i=1 On désigne parMp,nl’espace vectoriel des matricesp lignes,n colonnesà coefficients réels et pour ( ) Mp,n)la norme de Frobenius deon note (classiquement)Ac'estàdire s iA=aligne1 indice((ij)i=p F j=1n indice colonne 2 2  onaA=a (sommedouble). F( ) ij j=1n i=1p 2 2 22 3. MontrerqueX++ σ= σ+ σalors que l’on sait queX= σ(oùX=supX)/ 1 2r1x F2 2 x=1 Ce résultat n’est utilisé que dans la partie IIIde la suite. +p+  déduireXMest solution du 4.Montrer queXle projecteur orthogonal de est\surIm( )que. Enn,p) ( problème d’optimisation in XYI P F  oùIla matrice identité estpxp .On notera que la norme de Frobenius utilisée dans cette p YM(n,p) question est celle deM(p,p)! III
Dans cette partie on suppose quer=rg(X)est supérieur ou égal à 2. 1.On noteUla matrice orthogonale (pourquoi ?)nxn⎡ ⎤ U=u uuetVla matrice orthogonaleV=v vvet pourk=1r,la matricenxpdont 1 2n1 2p k ⎣ ⎦⎣ ⎦ tous les termes sont nuls sauf leskpremiers termes diagonaux qui valentσ(i=1k), soit donc i σ"0"01 ⎢ ⎥ #σ# 2 ⎢ ⎥ T ⎢ ⎥ =#σ#. Montrer que si l’on pose=VU, on a k kk k ⎢ ⎥ #0# ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0" " "0 ⎣ ⎦ rg X=kk=1r ;X=X etXX= σ pourk=1r1. (k)) (r kk+1( ) 2 2.On noteYune quelconque matrice (pxn) de rangk (k=1(r1)).x, ,de kerpuis Montrer qu’il existe une base orthonormée,xnk(Y)un vecteur non nulzappartenant 1 2 àkerY vectu,,u,u. ( )1k k+1
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z 2 2 En posantζ =montrer que(XY)≥ σ. k+1 z 3.En déduire que(k=1r)est solution du problème d’optimisation : k Min XY 2 {YM(p,n),rg(Y)=k}.
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