ISFA 2005 2eme epreuve de mathematiques option b

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I. S. F. A. 2005-2006 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice autorisée OPTION B 2005 R´eassurance proportionnelle et nonproportionnelleCe sujet aborde de mani`ere tr`es simplifi´ee des questions de probabilit´es ins-pir´ees de probl`emes rencontr´es en assurance. N´eanmoins, aucune connais-sance en assurance n’est n´ecessaire, et toutes les questions se traitent avecles outils du programme.1 Notations, d´efinitions et introductionSoit (Ω,F,P) un espace probabilis´e.Monsieur Toulmonde a assur´e ses champs contre les d´egˆats caus´es par`les sauterelles aupr`es de la compagnie d’assurances Pl`ed´egypt. A ce titre, ila pay´e une prime p fix´ee pour l’ann´ee 2005, et, en contrepartie, Pl`ed´egypts’est engag´ee a` rembourser tous les dommages caus´es par les sauterelles surses champs en 2005. Notons S le coutˆ total (en euros) de tous les d´egˆatscaus´es par les sauterelles dans le champ de M. Toulmonde pendant l’ann´ee2005 : c’est aussi le montant des remboursements pay´es par Pl`ed´egypt `aM.Toulmonde.CommelavaleurdeS n’estpaspr´evisibleaud´ebutdel’ann´ee2005, on consid`ere que S est une variable al´eatoire a` valeurs dansR = [0,+∞[. On supposera dans toute la suite queS admet une densit´ef+ S2surR , et que E(S )< +∞.+Pour assurer sa viabilit´e, la compagnie Pl`ed´egypt a fix´e la primep `a ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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I. S. F. A. _________
2005
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________
Durée : 4 heures
Calculatrice autorisée
OPTION B
20052006  _________
Concours d'Entrée _______________
Re´assuranceproportionnelleetnon proportionnelle
Cesujetabordedemanie`retr`essimpli´eedesquestionsdeprobabilite´sins-pire´esdeproble`mesrencontre´senassurance.N´eanmoins,aucuneconnais-sanceenassurancenestn´ecessaire,ettouteslesquestionssetraitentavec les outils du programme.
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Notations,de´nitionsetintroduction
Soit (Ω,F, Papecnuse).is´eabilprob MonsieurToulmondeaassur´eseschampscontrelesd´egaˆtscaus´espar ` lessauterellesaupre`sdelacompagniedassurancesPl`ede´gypt.Acetitre,il apay´euneprimepopru´xee´neelnapttrapP,eide`lyge´0520t,,ecoenrent sestengag´eea`remboursertouslesdommagescause´sparlessauterellessur ses champs en 2005. NotonsSlecostd´esˆaeget)dslouene(soruttuˆlato cause´sparlessauterellesdanslechampdeM.Toulmondependantlanne´e 2005:cestaussilemontantdesremboursementspay´esparPl`ede´gypta` M. Toulmonde. Comme la valeur deSptsarpe´ivislbaeud´ebutdelann´eesen 2005,onconside`requeSlae´baelera`taioursdvaleansesneturiva R+= [0,+[. On supposera dans toute la suite queSnetunsdee´timeadfS 2 surR+, et queE(S)<+. Pourassurersaviabilite´,lacompagniePle`de´gyptaxe´laprimepne`au valeurquelleespe`replusgrandequelavaleurmoyennedesremboursements: on peut poser p= (1 +ρa)E(S), ou`ρaitoslpeel´peapif´rnutset´e.curigrmeceahsee´nedt LacompagniePl`ed´egyptnesouhaitepassupporter`aelleseulelerisque quellecouvreparsoncontratavecM.Toulmonde.Ellefaitdoncappela`une soci´ete´dere´assurance(sortedassureurdelassureur),BzzRe,`aquielleva transf´ererunepartiedecerisque.ContrelepaiementparPle`d´egyptdune sommede´terministeprapeyega`neageRseBzzrancassuer´ede´te´icosal,ar` Ple`d´egyptunepartieSrST.uomlnoute´`sMaentseecmboursemderse.ed Comme pourp´euritegemhcra´scetnedtrinutpelereuiodno,ρr, tel que
pr= (1 +ρr)E(Sr).
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Lapartierestanta`lachargedePl`ede´gyptseranote´eSa=SSr. On notera Fadnoititrape´rednafonctioelSapouptsˆucole,ruueassaplrtre´,gypted´erPl` etFrcelle deSr.urssear´RezzrBeupprotuusrael´tpeecoˆ,l
Enge´n´eral,Srest une fonction deSedicrcstee´eldetul;ojbteedecetex plusieurscasparticuliers,correspondant`aplusieurs«se´tiart»redencrasuas´e courants. PourPle`d´egypt,lere´sultatnancierglobalducontratavecM.Toul-monde,etsar´eassurance,pourlann´ee2005,se´l`evea`
G= (1 +ρa)E(S)S+Sr(1 +ρr)E(Sr),
cere´sultate´tantpositifsiPl`ed´egyptae´t´ebe´ne´ciairesurcescontrats,et n´egatifsinon. Pourdeuxvariablesal´eatoiresnonpresquesˆurementconstantesetde carre´int´egrable,onrappellelad´enitionducoecientdecorr´elationdeX et deYpar Cov (X, Y) corr (X, Y) =p p, Var (X) Var (Y) ou` Cov (X, Y) =E(XY)E(X)E(Y) est la covariance deXet deY, et   2 2 Var (X) =E X(EX)
est la variance deX. LebutdePl`ed´egyptestdessayerdemaximisersongainesp´ere´touten re´duisantsonrisque.Unefac¸onsimplistederepre´senterlespr´ef´erencesde lassureurPle`d´egyptestdesupposerquilcherchea`maximiser
E(G)δVar (G)
ou p E(G)δVar (G), pouravoirquelquechosedhomog`ene,o`uδ >,0set´xe.Lepremierterme p E(Ger,)tnese´rptroepeletn,yemoocdneles,δVar (G) ouδVar (G), repr´esenteunep´enalite´duea`lavariablite´deceprot.
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Pre´liminaire
0 1. SoitXetXseca`-t-cadeesirtoeal´sa(elbarge´tnie´rrbaelaviredxu 202 dire telles queE(X) etE(Xnpresquesˆuremens)notin)steont 0 0 constantes. Pourλ, λ , µ, µmirexerps,el´er
en fonction de
0 0 0 corr (λX+µ, λ X+µ)
Traite´quote-part
0 corr (X, X).
Dansuntrait´eder´eassurancedetypequote-part,lare´partitionducoˆut entrelassureurPl`ede´gyptetlere´assureurBzzReestproportionnelle.Soit α[0,qseu´cdee´peralP`ed´egyptaur´easerusO.ru]1noropprlarideonti suppose donc Sr=αS
et Sa= (1α)S. 2. ExprimerFa(x) etFr(x) pour toutxRen fonction defS(Rappelons queFaetFrontlesfosree´aptrcnitnodsctpeesivioitesnredSaetSr). 3.De´terminerlespe´ranceetlavariancedeSaet deSren fonction de E(S) et Var (S). 4. Calculer corr (Sa, Sr). 5.D´eterminerlegainespe´r´edePl`ed´egyptE(G) en fonction deE(S),α, ρaetρr. 6.D´eterminerlavarianceVar(Gedcnofnoitgy´eenptePndedl`guiad) αet de VarS. 7. A quelle condition (surE(S(), Var S) etρr) la valeur du niveau de r´eassuranceαiuqixampyt`ePlegd´semiurpoE(G)δVar (G) est-elle nulle?Interpre´tercere´sultat. 8.Lorsquecetteconditionnestpasv´erie´e,de´terminerlavaleurduni-veaudere´assuranceαtypmaxiquiopruimes´dgelPe`E(G)δVar (G). p Dansleresteduproble`me,oncherchera`amaximiserE(G)δVar (G).
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