ISFA 2006 2eme epreuve de mathematiques option b

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Parties de pokerCe sujet aborde de mani`ere tr`es simplifi´ee des questions de probabilit´es ins-pir´ees de situations li´ees a` des parties de poker. N´eanmoins, aucune connais-sance de ce jeu de cartes n’est n´ecessaire, et toutes les questions se traitentavec les outils du programme. Les trois parties de ce probl`eme sontind´ependantes.1 Notations, d´efinitions et r`egle du jeuLors de certains tournois de poker (du type Texas Hold’em), chaquejoueur dispose de deux cartes, connues de lui seul. Au milieu de la table sontsuccessivementd´evoil´ees(`alaconditionqu’aumoinsdeuxjoueursn’aientpasencoreabandonn´e)cinqcartes:d’abordleflop,constitu´edetroiscartes,puisla quatri`eme carte (appel´ee turn), et enfin la derni`ere carte appel´ee river. Lamain d´efinitive d’un joueur est la meilleure main de cinq cartes parmi septcartes (les deux siennes plus les cinq communes sur la table). Le jeu de cartesest un jeu de 52 cartes (13 cartes de chaque couleur (tr`efle, carreau, coeur,pique)), et il est m´elang´e apr`es chaque donne. Il reste trois joueurs autourde la table : Nicolas, Didier et Alexis. On suppose que tous les tirages sont´equiprobables. Dans une donne, les tirages sont ind´ependants et sans remise.2 Mains de poker1. Lors de la premi`ere donne, Alexis a Roi de Coeur et Dame de Pique,Didier a Valet de Coeur et Valet de Tr`efle, Nicolas a Dix de Tr`efle etDeux de Tr`efle. Le flop (trois premi`eres cartes communes) est constitu´ede As de Pique, Dix de Pique, et ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Parties de poker Cesujetabordedemani`eretr`essimplie´edesquestionsdeprobabilit´esins-pir´eesdesituationslie´esa`despartiesdepoker.Ne´anmoins,aucuneconnais-sancedecejeudecartesnestn´ecessaire,ettouteslesquestionssetraitent avec les outils du programme.osemtnipeairstercossdtrLoeep`ebl inde´pendantes.
1Notations,d´enitionsetre`gledujeu Lors de certains tournois de poker (du type Texas Hold’em), chaque joueur dispose de deux cartes, connues de lui seul. Au milieu de la table sont successivementde´voile´es(`alaconditionquaumoinsdeuxjoueursnaientpas encoreabandonne´)cinqcartes:dabordleop,constitu´edetroiscartes,puis laquatri`emecarte(appel´eeturn,e)ntedalninreere`tracelee´aeppriver.La maind´enitivedunjoueurestlameilleuremaindecinqcartesparmisept cartes (les deux siennes plus les cinq communes sur la table). Le jeu de cartes estunjeude52cartes(13cartesdechaquecouleur(tre`e,carreau,coeur, pique)),etilestm´elang´eapr`eschaquedonne.Ilrestetroisjoueursautour de la table : Nicolas, Didier et Alexis. On suppose que tous les tirages sont ´equiprobables.Dansunedonne,lestiragessontind´ependantsetsansremise.
2 Mainsde poker 1.Lorsdelapremi`eredonne,AlexisaRoideCoeuretDamedePique, DidieraValetdeCoeuretValetdeTre`e,NicolasaDixdeTre`eet DeuxdeTr`ee.Leop(troispremie`rescartescommunes)estconstitu´e deAsdePique,DixdePique,etTroisdeTr`ee.Laquatrie`mecarte estleSixdeTre`e.Siladerni`erecarte(river)estunroiouunedame dunecouleurautrequeTre`e,ouunValet,Alexisauralameilleure main.SicestunTre`eouunDeux,Nicolasauralameilleuremain. Dans tous les autres cas, Didier gagne. (a)Quelleestlaprobabilit´equeDidieraitlameilleuremainaunal (en connaissant les cartes de tous les joueurs)? (b)Quelleestlaprobabilite´conditionnellequeNicolasaitaunalla meilleure main, sachant que Didier n’a pas la meilleure main?
1
2.Unenouvelledonnecommence.Quelleestlaprobabilit´epourAlexis davoiruncarre´(4cartesdelamˆemehauteur,parexemplequatreAs, quatre Dames, ...) (avec les sept cartes)? 3.SachantquAlexisauncarre´dAs(avecseptcartes),quelleestlapro-babilit´equesesdeuxcartes(connuesdeluiseules)soientdeuxAs?
3Dur´eesdejeu Onsupposejusqu`alandele´nonce´queladur´eedunepartiedepoker peuteˆtremode´lis´eeparuneloiexponentielle,dontleparam`etred´ependdu nombre et de la valeur des joueurs. Lucien, le fils de Didier, fait une partie avecLaurence,lalledeDaniel.Danieljoueaupokera`uneautretableque Didier.Onmod´eliserespectivementladure´edunepartie`alatabledeDaniel parlavariableal´eatoireX1eleditle`mteapardeloreoneniexpλ1, celle de la table de Didier parX2eledapar`mteerdeloiexponentielλ2. En attendant leursparents,LaurenceetLucienjouenteuxaussia`uneautretable.Ladure´e deleurpartieestmod´elise´eparunevariableal´eatoireX3de loi exponentielle deparam`etreλ3. On suppose queX1,X2etX3ndan´epetes.dnitnos Onadmettraler´esultatsuivant:siXoirepositivetuesavenbairlaeltae´ admettantladensit´efXeretuotruopsrola,oiat´ealleabrivaYnaetepdndne´i deX, Z +P(Y >X) =P(Y >x)fX(x)dx. 0 Onrappellee´galementquelafonctionder´epartitiondunevariableal´eatoire Xnaltlaiousviemararte`llieepedpoexntneλsenodtparn´ee λx FX(x) =P(Xx) = 1e pourx0 etFX(x) = 0 pourx <0. 1.Lesenfantspeuventjouerjusqu`acequundesdeuxparents(Didierou Daniel) ait fini de jouer. Le temps pendant lequel ils peuvent jouer est mode´lise´parlavariableal´eatoire Y1,2= min(X1, X2).
Montrer queY1,2tr`eamareptloneda`tseesuitunentneillleioxeop pre´ciser(identierP(Y1,2)> xpourx0). 2
2.D´eterminerlamoyenneetlavariancedeY1,2. 3.Calculerlaprobabilit´equecesoitlapartiedeDanielquitermineen premier P(X1< X2). 4.Calculerlaprobabilit´equelesenfantsaientletempsdeterminerleur partie avant Didier et Daniel
P(X3<n(imX1, X2)).
5.De´terminerlaprobabilit´e
6.De´terminer
7.D´eterminer
P(X3>3|X1>3).
P(X1>4|X1>3).
P(min(X1, X2, X3)>3|min(X1, X2, X3)>1).
8. SoitI´laelbairavalnsdaotae`erilavasrue{1,2,3}eiaprdn´e
{I=i}={∀j6=i, Xj> Xi}
pouri∈ {1,2,3},
etIeslesariabtoirl´eamuioaparxuavsnedesumiminnteitttamelis0= parmiX1,X2etX3luel.)bilit´envecprobadorpatiuqec(esiu (a)Aquele´ve´nementcorrespond{I= 1}rennod(?nse´epouner litt´eraire) (b) MontrerqueIetT= min(X1, X2, X3.stnadne)sod´epntin 9.Onsuppose(danscettequestion)quechaqueenfantvasecoucherde`s quesapartieoucelledesonp`ereesttermin´ee.Laurencevadoncse coucherapre`sletempsale´atoireW1= min(X1, X3,etLucie)eanrpe`ls tempsal´eatoireW2= min(X2, X3s´eeti´reetiudbutdet´srporpesLe.l) de la loi jointe de (W1, W2´eitslpmesedeborpliba`a-dest-arexirep,)c
pourx1, x20.
P(W1> x1, W2> x2)
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