Isg 2002 mathematiques classe prepa hec (ece)

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ISG 2002 Option ØconomiqueExercice 11. Pour tout entier naturel n non nul, on considŁre la fonction f dØ…nie sur l intervalle ] 1;+1[ par :nnx7!f (x) =x ln(1+x):n(a) Etudier le sens de variation de la fonction h dØ…nie sur l intervalle ] 1;+1[ par :nxx7!h (x) =nln(1+x)+ :n1+xCalculer h (0); puis en dØduire le signe ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ISG 2002 Option économique
Exercice 1
1. Pourtout entier naturelnnon nul, on considère la fonctionfndénie sur lintervalle]1;+1[par : n x7!fn(x) =xln(1 +x): (a) Etudierle sens de variation de la fonctionhndénie sur lintervalle]1;+1[par : x x7!hn(x) =nln(1 +x) +: 1 +x Calculerhn(0);puis en déduire le signe dehn(x): 0 (b) Pourtoutxappartenant à]1;+1[montrer quef(x) =h1(x) 1 0n1 et que, pour tout entiernstrictement supérieur à1; f(x) =x hn(x): n (c) Onsupposenle tableau de variation de la fonctionimpair. Dresserfn;en précisant ses limites en1 et en+1: (d) Onsupposenpair. Dresserde même le tableau de variation defn;en précisant ses limites en1et en 1: 1 R n 2. Onconsidère la suite(un)n>1dénie par:un=xln(1 +x)dx: 0 ln 2 (a) Démontrerque, pour tout entier naturelnnon nul :06un6: n+ 1 (b) Endéduire que la suite(un)n>1est convergente et déterminer sa limite. 2 x1 (c) Jusitiferque, pour toutxappartenant à[0;1];on a :=x1 +: 1 +x1 +x 1 2 R x Puis calculerdx: 1 +x 0 (d) Calculeru1au moyen dune intégration par parties. n P k (e) Pourtoutxde[0;1]et pour tout entiern>2;on pose :Sn(x) =(x): k=0 n+1n+1 1 (1)x Montrer que:S(x) =: n 1 +x1 +x n1n+1 R 1 1(1)x n+1 Etablir légalité1+ +::+ =ln 2(1)dx: 2 3n1 ++ 1x 0 1n+1 R x1 Montrer que: 06dx6: 1 +x n+ 2 0 n 1 1(1) En déduirelim (1+ +::+ ) n!+1 2 3n+ 1 3. (a)A laide dune intégration par parties démontrer que :   n+1n ln 2(1 (1) 11) un=ln 2(1+ +::+ ) n+ 1n+ 12 3n+ 1
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(b) Endéduire un équivalent simple deunlorsquentend vers linni.
Exercice 2
On considère lensembleEdes matrices carrées dordre3déni par 0 1 a b b @ A E=fM(a; b) =b a b/a2R; b2Rg b b a
1. MontrerqueEest un sous-espace vectoriel de lespace vectoriel des matrices carrées dordre3: 0 10 1 1 0 00 1 1 @ A@ A 2. Justierque les matricesI= 01 0etJ0 1= 1forment une base deE: 0 0 11 1 0
3. LamatriceM(1;1)est-elle inversible ?
2 20 020 0 (a) VérierqueJ= 2I+J;en déduire que, pour tout(a; b)2Ret tout(a ; b)2RM(a; b)M(a ; b) est un élément deE: (b) Endéduire que la matriceM(2;1)est inversible et que son inverse est un élément deE:
4. Déterminerles valeurs propres et les sous-espaces propres de la matriceJ:En déduire queJest diagonalisable. Ce résultat était-il prévisible ? Montrer que toute base de vecteurs propres deJest aussi une base de vecteurs propres de la matriceM(a; b)
Exercice 3
On considère la fonctionfqui à tout réelxassocie le réelf(x)tel que 8 <0six <0 f(x3) = :six>0 4 (1 +x)
1. (a)Etudier la continuité de la fonctionf: (b) Donnerle sens de variation def: (c) Montrerquefest une densité de probabilité.
2. OnnoteXla variable aléatoire réelle de densitéf:
(a) Déterminerla fonction de répartitionFde la variableX: (b) Calculerlespérance mathématique de la variable aléatoire1 +X;en déduire lespérance deX: 2 (c) CalculerlespéranceE((1 +X) ):En déduire la variance deX
3. OnnoteYla variable aléatoire à valeurs entières dénie par:Y= [X];[X]désignant la partie entière deX:
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(a) Calculer,pour tout entier naturelk;la probabilitéP(Y=k): 0 1 7 2 nk+ 3k+ P B C 3 (b) Endéduirelim@ A: 3 3 (k(+ 1)k+ 2) n!+1 k=0
(c) Calculerla probabilitéP(Y61): (d) Calculerla probabilité conditionnelle:P(Y61=Y62):
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