Le but de ce probleme est d'analyser quelques proprietes de schemas numeriques utilises pour la discretisation de systemes hamiltoniens Dans toute la suite on note R le corps des reels et Mn R l'espace des matrices reelles carrees de taille n avec n un entier strictement positif Si A Mn R on note AT sa matrice transposee Une matrice est dite symetrique si elle satisfait AT A et antisymetrique si elle satisfait AT A De meme si y Rn

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Introduction et notations Le but de ce probleme est d'analyser quelques proprietes de schemas numeriques utilises pour la discretisation de systemes hamiltoniens. Dans toute la suite, on note R le corps des reels et Mn(R) l'espace des matrices reelles carrees de taille n (avec n un entier strictement positif). Si A ? Mn(R), on note AT sa matrice transposee. Une matrice est dite symetrique si elle satisfait AT = A et antisymetrique si elle satisfait AT = ?A. De meme, si y ? Rn est un vecteur colonne ou ligne, on note yT le vecteur transpose. On notera y1, . . . , yn les composantes d'un tel vecteur. On dit qu'une application d'un ouvert U de Rn dans Rm est de classe Cp si elle est p fois differentiable avec des derivees successives continues sur U . Si H est une fonction C1 de Rn dans R, on note ?H(y) le vecteur colonne de composantes (?H(y))i = ∂H ∂yi (y), pour i = 1, . . . n. De meme, si H est C2, on note ?2H(y) sa matrice hessienne de composantes (?2H(y))ij = ∂2H ∂yi∂yj (y), pour i, j = 1, . . . n.

  • application c1

  • r2d

  • classe cp

  • espace des matrices reelles

  • methode de stormer-verlet definie

  • composante


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Introduction et notations
Lebutdeceprobl`emeestdanalyserquelquespropri´et´esdesche´masnume´riquesutilis´es pourladiscre´tisationdesyste`meshamiltoniens.Danstoutelasuite,onnoteRle corps des re´elsetMn(Rdesepscal)ellesr´eeicesmatrelliatedsee´rracn(avecnun entier strictement T positif). SiAMn(R), on noteAeuqirttdesceri´eymesitnapssoe´.enUmetasamatricetr T T n si elle satisfaitA=Atitasiafsrtqimye´leeleuisntisetaA=AiD.ˆeem,smeyR T est un vecteur colonne ou ligne, on noteyratenoOne.s´opsnartruetcevely1, . . . , ynles composantes d’un tel vecteur. n m p On dit qu’une application d’un ouvertUdeRdansRest de classeCsi elle estp 1 foisdi´erentiableavecdesde´riv´eessuccessivescontinuessurU. SiHest une fonctionC n deRdansR, on noterH(y) le vecteur colonne de composantes ∂H (rH(y))i= (y),pouri= 1, . . . n. ∂yi 2 2 Demeˆme,siHestC, on noterH(y) sa matrice hessienne de composantes 2 ∂ H 2 (rH(y))ij= (y),pouri, j= 1, . . . n. ∂yi∂yj
n m1 Sig:RRest une applicationC, pournetmtneisrodnne´,snoedteosne n0 (gi(y))i=1,∙∙∙,mle vecteur colonne correspondant, pouryR, etg(y) sa matrice ja-cobienne`amlignes etncolonnes, de composantes 0∂gi (g(y))ij= (y), i= 1, . . . , m,etj= 1, . . . , n. ∂yj 0pT m Remarquonsquedanslecasou`m= 1, on ag(y) =rg(y) . Sih:RR,z7→h(z), 1 est une applicationCe´rcrilematairecjacobiennedesrolatuepno,hgsous la forme 0 0 0n (hg) (y) =h(g(y))g(y), yR,
1
n ou`on´equivl.Defa¸camrtcieipeorudtireriurpouepnce´tnelao,etltseyR m   X 0∂hi∂gl (hg) (y) = (g(y)) (y), i= 1, . . . , p,etj= 1, . . . , n. ∂zl∂yj ij l=1
n n1 Sif:RRest une application de classeCleelti,onrappellequel´qeauitnoid´rene
dy (t) =f(y(t)), y(0) =y0, dt admet une unique solution localey(tninuvretinerusel)ea´ldIy0. n Lorsquepourunre´elT >0 et pour touty0Uun ouvert deR,y(t) existe pour t[0, T], i.e. [0, T]Iy0on notey(t) =ϕt(y0) et on appelleϕt(co´iatsssnec.eaDleo) 1 cas, pour toutt[0, T], l’applicationy07→ϕt(y0) est de classeCsurU. Si on note
0 ϕ( Xt(y0) =ty0),
alors la matriceXt(y0elleitnere´iiondquatl´efaittasis)
dXt 0 (y0) =f(ϕt(y0))Xt(y0), X0(y0) =In, dt o`uInonimedsienitnede´tirtadiecestlamn. Pourdun entier naturel non nul, on noteJM2d(R)lamceanatri´mteityseiruq   0Id J= Id0
(1)
(2)
ou`Id´ededimensionsteamalcirtedietitnd. Une matriceAest dite symplectique si elle satisfaitl´equation T A J A=J. 2d1 2d Une fonctiong:URde classeCo,u`Uest un ouvert deRest dite symplectique 0 si sa matrice jacobienneg(y) satisfait
0T0 g(y)J g(y) =J,
pour
tout
yU.
1 Enfin, on appelle champ hamiltonien une application de la formef(y) =JrH(y) 2 2d pourHune fonction de classeCd’un ouvertUdeRdansR. On note alorsϕt(y0) =y(t) lasolutiondele´quationdi´erentielle
dy 1 2d (t) =JrH(y(t)), y(0) =y0R. dt PartieI:Pr´eliminaires
(3)
Dans cette partie,de.x´stunentienlnounlreanuter 21 1. CalculerJeriude´dneteJ. 1 2d2d 2. Soientfetgdeux applications de classeCdeRdansR. Montrer que sifetg sontsymplectiques,alorslacompose´efgest encore symplectique.
2
3.Soitunsyst`emedi´erentiel
2 dq (t) =−rV(q(t)) 2 dt d d ou`pourtoutt,q(t) est un vecteur deR,eto`uVest une application deRdans 2 dq2d Rde classeC. En introduisantp= et le vecteuryRtel queyi=pipour dt i= 1, . . . , d, etyi=qidpouri=d+ 1, . . . ,2dtnom,me`estsyceuerqrepeuts´ecrire sous forme hamiltonienne (3). 2 2d 4. SoitHune fonction de classeCdeRdansRet soity(t) la solution de (3) pour tI. Montrer que y0 tIy0, H(y(t)) =H(y0). 5. On suppose de plus queH(y) satisfait
2d yR,
β H(y)αkyk
ou`αetβ`ou,stetifiptsoenemctristlseer´xuedtnos
2d   X1/2 2 kyk=y i i=1
(4)
2d2d de´signelanormeeuclidiennesurR. Montrer alors que pour touty0R,y(t) existe pour tout tempst0.
PartieII:Exemplesdesche´masnume´riquessymplectiques
2 Danscettepartie,onconside`redessyst`emeshamiltoniensdansR,cseeaveclest-`a-dir T notationspr´ece´dentes,d= 1, et on notey= (p, q`u)opetqosppsuOnetnedosle.srse´ deplusquelesfonctionshamiltoniennesconside´r´eessontdelaforme
H(p, q) =T(p) +V(q),
2 ou`TetVsont des fonctions de classeCdeRdansRtecri)s´en(3tonimalimehesy`tL.se donc         dp(t)−rqV(q(t))p(0)p0 2 =,=R.(5) dt q(t)rpT(p(t))q(0)q0 o`urpetrqgseltnenstneidarigesd´appoparrrt`apaet`qrespectivement. Dans cette 2 partie, on noteϕt(y0u`el)otassoci´e`a(5)oy0est le vecteur deRde composantes T (p0, q0) . On suppose queϕt(y0ndien´eouipourtspttme)btset >0 et tout point 2 y0R. Pourapprocherlasolutionde(5),onconside`reunpetitpasdetempsh, et on approche le flotϕh(y0a`tnp)5(pseradnoor)cionΦicatapplarlhaprneide´ (     p1=p0hrqV(q1) p1p0 = Φhq1q0 q1=q0+hrpT(p0)
3
Cettem´ethodeestappel´eelam´ethodedEuler symplectiquealiss.idnscoOnaurare´e me´thodedet¨ormer-VSerleteinperad´ h p1/2=p0− rqV(q0)    2 p1p0 = Ψhq1=q0+hrpT(p1/2) (6) q1q0 h p1=p1/2− rqV(q1) 2 Le pointp1/2clac.luiaidederrm´eintestune 2 2 1. Montrer que pour touth >0, l’application Φhest symplectique deRdansR. 2 Montrerdemeˆmequepourtouth >0, l’application Ψhest symplectique deR 2 dansR).no(ruoptuariliserler´esultadtleqaeutsoiIn2. 2. Montrer que pour touth >0, l’application Ψhest bijective et satisfait la relation 1 Ψ = Ψh. h T 3. Montrer que pour toutt >0, si (p(t), q(tdnoi)5(esaletuloalo,aonrs))isngde´ Z Z t s 2 V(q( p(t) =p0trqV(q0)− rqσ))rpT(p(σ))dσds. 0 0
Ecrire une formule similaire pourq(t). 4. Montrer que Φhcse-ta`d-riqeeualementdordre2,tlsoicesh0tcirnemettues´enrstel 2 positifdonn´e,alorspourtouth]0, h0[ et pour touty0Ron a la relation
2 kΦh(y0)ϕh(y0)k ≤Ch
ou`k ∙ kelanormed´esign`uto(enne,)4lcueeidiCpe´equndedndeey0,h0, et des de´riv´eespremi`eresetsecondesdeTetV. 3 5. On suppose queTetVsont des fonctions de classeCsurR. Montrer que Ψh estlocalementdordre3,cest-`a-diresatisfait,pourtouth]0, h0[ comme dans la 2 questionpre´ce´denteetpourtouty0R, la relation suivante :
3 kΨh(y0)ϕh(y0)k ≤Ch
o`uCpe´dqdnedeueeny0,h0pserime`e´ir´veendesettrres,seco`eetme,osidsdiesde TetV.
PartieIII:Applicationa`loscillateurharmonique.
Danscettepartieettoutleresteduprobl`eme,onconside`relehamiltonien
2 1ω 2 2 H(p, q) =p+q(7) 2 2 o`upR,qRetu`oωRitostpenemctristlee´rnutseelatationsdevlcseonfixe´A. 2 1 2ω2 partiepr´ece´dente,onadoncT(p) =petV(q) =q. 2 2 T 1. Ecrire la solution exactey(t) = (p(t), q(trrco5)n(ieonltmi-nopsetse`emah))udys T dant en fonction dey0= (p0, q0) .
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