LM100 Méthodes de calcul et statistiques

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LM100 Méthodes de calcul et statistiques 2004-2005 Examen du 6 septembre 2005 Machine à calculer non graphique et non programmable autorisée. Tout document interdit. Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté. Rédigez les deux parties sur deux copies séparées Mathématiques I. Racines sixièmes complexes de 1. On sait que les six nombres complexes de la forme (exp( / 3)) exp( / 3)pi ipπ π= , où 0,1, 2...,5p = , sont les six racines sixièmes de 1. On pose exp( / 3)i? π= et exp( / 3)p ip? π= , 0,1, 2...,5p = . 1. Dans le plan complexe placer les six racines sixièmes de 1. 2. Pour toutes les combinaisons de signe a. Calculer 2 1 3 2 i? ?± ±? ?? ?? ? ; b. Puis vérifier que 6 1 3 1 2 i? ?± ± =? ?? ?? ? ; 3. En utilisant le schéma demandé dans la question 1, a. identifier chacune des quatre valeurs obtenues en 2a à l'un des nombres 1, 2 3 4 5, , , ,? ? ? ? ? . b.

  • interpolation dans la table de la loi normale

  • croissance des bactéries bacillus dendroïdes

  • surface de la colonie

  • version pathogène de la protéine prion

  • surface de la colonie en cm2


Publié le : mardi 19 juin 2012
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LM100 Méthodes de calcul et statistiques 2004-2005 Examen du 6 septembre 2005 Machine à calculer non graphique et non programmable autorisée. Tout document interdit. Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté. Rédigez les deux parties sur deux copies séparées Mathématiques I.Racines sixièmes complexes de 1.p On sait que les six nombres complexes de la forme(exp(iπ/ 3))=exp(ipπ/ 3), p=0,1, 2..., 5, sont les six racines sixièmes de 1. p  On pose=exp(iπ/ 3)etω=exp(ipπ/ 3),p=0,1, 2..., 5. 1. Dansle plan complexe placer les six racines sixièmes de 1. 2. Pourtoutes les combinaisons de signe 2   ±1±i3 a. Calculer;   2   6   ±1±i3 b. Puisvérifier que=1;   2   3. Enutilisant le schéma demandé dans la question 1, a. identifierchacune des quatre valeurs obtenues en 2aà l'un des nombres 2 3 4 5 1,ω,ω,ω,ω,ω. ±1±i3iθ b. Onpose=ρecalculer ;ρ etθ pourtoutes les combinaisons de 2 signe. II.On sintéresse à la croissance des bactéries Bacillus dendroïdes. On appelleyla surface de 2 la colonie en cmetxson âge en jours. On suppose queyest une fonction dex. On suppose que le taux daccroissement de la surface de la colonie s'écrit 1dy y' = =rky (1) y dxy rest un terme strictement positif constant qui traduit laccroissement par division cellulaire et où le terme négatif, -ky, proportionnel à leffectif des bactéries, traduit le rôle inhibiteur de ces dernières (kest une constante strictement positive). r/k 1- Montrerque la fonctiony(x)=est solution de (1). 1+exp(rx) -1 2- Etudierla variation de cette fonction suivant la valeur dexsachant queret= 2 jour  -1-2 kQuelle est la limite decm .= 0.4 joury(x) quandx? Tracer lavers linfini tend courbe représentative dey(x). 3- Enlabsence dinhibition mutuelle des bactéries,k =0. On appelle dans ce casY la 1dY surface de la colonie. Elle satisfait l'équation(1) simplifiée=rque l'on peut Y dx écrire aussi : dY =rdx (2)
Calculer la primitive de chaque membre de l'équation (2). En déduire lexpression deY(x).Quelle estla nouvelle limite de la surface de la colonie quandxtend vers linfini? Statistiques III. Probabilités et variables aléatoires discrètes La fréquence dapparition chez lhomme dun caractère génétique A est de 0,1 et celle dun caractère B est de 0,3. La probabilité dobserver lun ou lautre de ces caractères chez un individu est de 0,37. Définir soigneusement les évènements considérés avant d'en calculer la probabilité. 1. Calculerla probabilité dapparition des deux caractères chez un même individu. 2. Lapparitionde lun des deux caractères est-elle indépendante de lapparition de lautre ? 3. Dansun échantillon den =100 personnes, quelle est la loi de distribution du nombreXdindividus présentant les caractères A et B ? 4. Parquelle loi plus simple dutilisation peut-on approcher la loi précédente ? 5. Utilisercette loi approchée pour calculer les probabilitésp(X=k)pourkallant de 0 à 8. Représenter leur histogramme. IV. Estimation ponctuelle et loi normaleLagent pathogène responsable de la maladie de Creutzfeld-Jacob est la protéine prion. Dans des conditions encore incomplètement comprises, la forme native du prion peut adopter une conformation pathogène entraînant une mort neuronale massive. La densité de neurones 3 (exprimée en centaines de cellules par mm) a été étudiée dans le cortex de rat de deux échantillons : échantillon :rats auxquels on a injecté la version pathogène de la protéineprionéchantillon :rats témoins Echantillon 2 2 1 46010 97310 2 2 2 34110 118110 2 2 3 64110 78910 2 2 4 51210 91210 2 2 5 44710 124710 2 2 6 59910 89810 1. Calculerla moyenne, la variance et lécart-type de la densité de neurones dans chaque échantillon. 2. Uneétude sur un grand échantillon a montré que la densité de neurones corticaux (que lon symbolisera par la variable aléatoireX) se distribue chez les rats sains de 2 3 façon normale avec une moyenneµ1000 =× 10neurones/mm etun écart-type 2 3 σ= 10010 neurones/mm.Quelle serait la probabilité dobserver des densités aussi faibles que celles de l'échantillon P si linjection de prions navait aucun effet sur la densité de neurones corticaux ? Note : on ne cherchera à effectuer ni correction de continuité ni interpolation dans la table de la loi normale.
Table de la loi normale centrée-réduite La table indique, pouru0, la valeurF(u) dela fonction de répartition de la loi normale centrée-réduite définie par 2 y u 1 2 F(u)=e dy. − ∞ 2π Pouru<0,F(u)=1F(u) . La table retourne la valeur deF(ula valeur de) pourulue comme la somme des valeurs figurant en tête de la ligne et de la colonne correspondantes. Ex. : u=0,83=0,8+0,03F(u)=0,7967 . u0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,00 0,0 0,50000,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,53980,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,57930,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,61790,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,65540,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,69150,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,72570,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,75800,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,78810,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,81590,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,84130,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,86430,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,88490,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,90320,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,91920,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,93320,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,94520,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,95540,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,96410,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,97130,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,97720,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,98210,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,98610,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,98930,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,99180,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,99380,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,99530,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,99650,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,99740,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,99810,982 0,99820,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,99870,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3,1 0,903 0,906 0,910 0,913 0,916 0,918 0,921 0,924 0,926 0,929 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3,2 0,931 0,934 0,936 0,938 0,940 0,942 0,944 0,946 0,948 0,950 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3,3 0,952 0,953 0,955 0,957 0,958 0,960 0,961 0,962 0,964 0,965 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3,4 0,966 0,968 0,969 0,970 0,971 0,972 0,973 0,974 0,975 0,976 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3,5 0,977 0,978 0,978 0,979 0,980 0,981 0,981 0,982 0,983 0,983 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3,6 0,984 0,985 0,985 0,986 0,986 0,987 0,987 0,988 0,988 0,989 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 3,7 0,989 0,990 0,900 0,904 0,908 0,912 0,915 0,918 0,922 0,925 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3,8 0,928 0,931 0,933 0,936 0,938 0,941 0,943 0,946 0,948 0,950 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3,9 0,952 0,954 0,956 0,958 0,959 0,961 0,963 0,964 0,966 0,967 3 N.B.03, par exemple, équivaut à 0,99903.: La notation 0,9
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