LM100 Méthodes de calculs et Statistiques Examen du juin durée heures Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints Les exercices sont indépendants Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté I Mathématiques I Matrice Soient les matrices

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LM100 Méthodes de calculs et Statistiques 2007-2008 Examen du 17 juin 2008 (durée 2 heures) Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté. I. Mathématiques I.1 Matrice Soient les matrices ? A = 1 2 5 3 ? ? ? ? ? ? et ? B = 4 2 2 1 ? ? ? ? ? ? et le vecteur ? r u = 3 1 ? ? ? ? ? ? . I.1.1 Calculer le produit matriciel ? A B ; appliquer la matrice A au vecteur ? r u . I.1.2 Etablir si les matrices A et B sont inversibles. Le cas échéant, calculer la matrice inverse correspondante. I.2 Système linéaire On considère le système suivant : ? x + y ? z =1 4x ? 3y + z = 2 3x ? 4y + 2z =1 ? ? ? ? ? 1.2.1 Ecrire la matrice de ce système. Calculer son déterminant. I.2.2 Le système admet-il zéro, une ou plusieurs solutions ? Le cas échéant, calculer la(les) solution(s).

  • table de la loi de poisson fournie en annexe

  • reporter dans le plan complexe

  • points d'inflexion éventuels

  • développement limité au voisinage de zéro

  • boîte


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : edu.upmc.fr
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LM100 Méthodes de calculs et Statistiques  2007-2008Examen du 17 juin 2008 (durée 2 heures) Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté.I. Mathématiques I.1 Matrice " "1 2%"4 2%r3%A=B=u= Soient les matrices$'et$'et le vecteur$'. 5 32 11 #&#&#&r I.1.1Calculer le produit matricielAB; appliquer la matrice A au vecteuru. I.1.2Etablir si les matrices A et B sont inversibles. Le cas échéant, calculer la matrice inverse correspondante. I.2 Système linéaire On considère le système suivant : #x+y"z=1 %$4x"3y+z=2%&3x"4y+2z=1 1.2.1Ecrire la matrice de ce système. Calculer son déterminant. I.2.2 Lesystème admet-il zéro, une ou plusieurs solutions? Le cas échéant, calculer la(les) solution(s). I.3 Nombres complexes Soit le nombre complexez=2"2i. I.3.1le module et largument de Déterminerzexprimer puiszforme sous exponentielle. Représenterzdans le plan complexe. 2 I.3.2Calculer le nombrezet le reporter dans le plan complexe. 2 2 z=z=z I.3.3Trouver les nombres complexesz1etz2tels que1 2, puis les figurer dans le plan complexe. 1 / 4 (Pour les représentations dans le plan complexe on rappelle8!2.8 et(8)!1.7) I.4 Equation différentielleSoit léquation différentielle dordre deux suivante : 2 d ydy "3+2y=02 dt dt I.4.1Déterminer la solution générale de cette équation. I.4.2 Calculeralors la solution vérifiant les conditions initiales,y(t=0)=2 et dy (t=0)=0dt I.4.3Rappeler lexpression du développement de Taylor au voisinage detoà lordrendune fonctionf(t)définie etnfois dérivable surR.I.4.4En déduire le développement limité au voisinage de zéro (to=0) à lordre 2 de la solution déterminée au I.4.2.
I.5 Etude de fonction Soit la fonction suivante : f(x)=xln(x)I.5.1On cherche à représenter graphiquement cette fonction, on donnera notamment :  -son domaine de définition - ses extrema éventuels - ses points d'inflexion éventuels - ses limites aux bornes de lintervalle de définition - son tableau de variation Donner alors lallure du graphe de cette fonction. I.5.2 A laide dune intégration par partie, calculer une primitive dexln(x). II. Probabilités et statistiques II.1 Une histoire de culture.Un mélange de graines est constitué à 80% dune lignée A et 20% dune lignée B. Sachant que le pouvoir de germination est de 70% pour la lignée A et de 90% pour la lignée B. Quelle est la probabilité pour quune graine qui ne germe pas soit de la lignée A ? On donnera le résultat sous la forme dune fraction simplifiée. II.2 Une usine de petits pois II.2.1 Ce que lon a avant optimisation de la fabrication Un service étudie la mise en boîte de petits pois. Le poids annoncé est de500g, on décide quune boîte est mal remplie si elle pèse moins de485g. On admet que la variable aléatoire X qui, à chaque boîte, associe son poids en grammes, suit une loi normale despérance500g et décart type12g. (On utilisera la table de la loi Normale fournie en annexe) a) Calculer la probabilité quune boîte soit mal remplie. b) Calculer la probabilité P(491<X<518) c) Déterminerhtel que P(500-h<X<500+h) = 0.95 II.2.2 Ce que lon obtient après optimisation Dans le but daméliorer la production, on a ramené le pourcentage de boîtes mal remplies à 2%. Durant la fabrication, un contrôleur teste 200 boîtes de la production (on assimilera ce prélèvement à un tirage avec remise) Soit Y la variable aléatoire désignant le nombre de boîtes mal remplies dans ce lot de 200 boîtes. a) Quelle est la loi de probabilité suivie par Y, justifiez votre réponse. b) Donner lespérance et la variance de Y. c) Donner lexpression de P(Y = 2). (on ne demande pas dapplication numérique) On admet que Y peut être approximé par une loi de Poisson. (On utilisera la table de la loi de Poisson fournie en annexe)d) Donner lexpression générale de cette loi.  e)En déduire lexpression de cette loi appliquée à la variable Y.
f) Déterminer la probabilité P(Y3).
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