LM100 Méthodes de calculs et Statistiques Examen du mai durée heures Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints Les exercices sont indépendants Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté I Analyse I Etude de fonction La fonction U x ci dessous permet de modéliser le déplacement d'une masse M le long d'un axe Ox

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LM100 Méthodes de calculs et Statistiques 2007-2008 Examen du 28 mai 2008 (durée 2 heures) Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté. I. Analyse I.1 Etude de fonction La fonction U(x) ci-dessous permet de modéliser le déplacement d'une masse M le long d'un axe (Ox) : ? U (x) = C a 2 4 + x 2 ? a ? ? ? ? ? ? ? ? 2 où C et a sont des constantes réelles strictement positives dépendant de la nature de cette masse. I.1.1 Etudier cette fonction U(x). I.1.2 Préciser ses extrema, ses limites. I.1.3 Donner l'allure de la fonction U(x). I.2 Calculer les intégrales et primitives suivantes : I.2.1 Calculer l'intégrale de ? xe x dx 0 1 ? (on utilisera la méthode de l'intégration par parties). I.2.2 Calculer pour ? x ? ± 1, la primitive de ? x 2 1? x 2 dx ? (on utilisera la méthode du changement de variable en utilisant les propriétés particulières des fonctions trigonométriques cos(x) et sin(x)), puis donner son expression en fonction de x.

  • raison de la taille de la population

  • expression de la solution complète

  • population de perches

  • calcul complet

  • loi normale d'espérance µ


Publié le : mardi 19 juin 2012
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LM100 Méthodes de calculs et Statistiques  2007-2008Examen du 28 mai 2008 (durée 2 heures) Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté. I. AnalyseI.1 Etude de fonction La fonctionU(x)ci-dessous permet de modéliser le déplacement dune masse M le long dun axe (Ox): 2 #2&a 2 U(x)=C% +x"a(%4($ ' C eta sontdes constantes réelles strictement positives dépendant de la nature de cette masse. I.1.1Etudier cette fonctionU(x).I.1.2Préciser ses extrema, ses limites. I.1.3Donner lallure de la fonctionU(x). I.2 Calculer les intégrales et primitives suivantes : 1 x "0 I.2.1Calculer lintégrale dexe dx(on utilisera la méthode de lintégration par parties). 2 x # I.2.2 Calculerpourx"±1de, la primitivedx (onutilisera la méthode du 2 1"x changement de variable en utilisant les propriétés particulières des fonctions trigonométriques cos(x)etsin(x)), puis donner son expression en fonction de x. I.3 Différentielles I.3.1Donner lexpression de la différentielle totale dune fonctionF(x,y).I.3.2Soit lexpression différentielle suivante : ydx#xdy "Q(x,y)=2 (x#y)
I.3.2.1condition(s) doit-on vérifier pour que cette différentielle soit une Quelle(s) différentielle totale ? I.3.2.2"Q(x,y)? Si oui, déterminer la fonctionune différentielle totale est-elleQ(x,y) dont elle dérive. I.4 Equation différentielle On modélise lévolution dune population par une équation différentielle de la forme : dN"t +3N=aedt aest une constante réelle positive etγune constante réelle strictement supérieure à –3. I.4.1 Déterminerlexpression de la fonctionN(t)le cas où dansa=0. On posera comme condition intiale,N(t=0)=No. I.4.2 Chercherune solution particulière de léquation avec second membre (a0) sous la "t formebe (exprimerb etβ). Donner alors lexpression de la solution complète de cette équation avec second membre (on a toujours comme condition initialeN(t=0)=No).(on pourrait aussi trouver cette même forme de solution en utilisant la méthode de variation de la constante, mais ici le calcul complet n'est pas nécessaire car on connait la forme de la solution a priori)I.4.3Quelle est lavenir de cette population (t"+#) lorsqueγ= 0 etγ= -1 ? Dessiner dans le casγ= 0la fonctionN(t)(qualitativement). II. Probabilités et statistiques II.1 Histoire dHôpital Le personnel dun très grand hôpital est réparti en 3 catégories: les médecins, les soignants (non médecins) et le personnel AT (administratif ou technique). 12% des personnels sont des médecins et 71% sont des soignants 67% des médecins sont des hommes et 92% des soignants sont des femmes. II.1.1On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital. a) quelle est la probabilité dinterroger une femme soignante ? b)quelle est la probabilité dinterroger une femme médecin ? c)on sait que 80% du personnel est féminin. Calculer la probabilité dinterroger une femme AT. En déduire la probabilité dinterroger une femme sachant que la personne interrogée fait partie du personnel AT.
II.1.2Une entreprise souhaite envoyer un courrier publicitaire à 40 personnes qui travaillent dans cet hôpital. Elle a la liste du personnel mais ne connaît pas la fonction de chacun. Elle choisit au hasard 40 noms de la liste (en raison de la taille de la population, on considère quil sagit de 40 tirages successifs indépendants et identiques). Donner lexpression de la probabilité que, sur les 40 courriers envoyés, 10 exactement soient reçus par des médecins ? (on ne cherchera pas à lévaluer numériquement) II.2 La pollution : un véritable fléau Au cours dune étude sur limpact de la pollution par le mercure sur différentes espèces de poissons dulçaquicoles, il a pu être montré que la concentration en mercure chez la perche -1 adulte était distribuée selon une loi normale despéranceµ= 1,12µCalculer son écart-g.g . type sachant que 40% de la population de perches présentent une concentration en mercure -1 supérieure à 1,234µg.g .
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