LM100 Méthodes de calculs et Statistiques Examen du septembre durée heures Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints Les exercices sont indépendants Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté I Fonction de plusieurs variables Soit f la fonction dépendant de la position x et du temps t définie par

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LM100 Méthodes de calculs et Statistiques 2005-2006 Examen du 5 septembre 2006 (durée 2 heures) Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté. I. Fonction de plusieurs variables Soit f la fonction, dépendant de la position x et du temps t définie par ? f (x, t) = A o cos(?t ? kx) avec ? A o , ? ? et k des constantes positives. I.1.a Calculer la dérivée partielle ? ?f?x ainsi que la dérivée seconde ? ?2 f?x 2 de f suivant x. I.1.b Calculer, de même, les dérivées partielles ? ?f?t et ? ?2 f?t 2 suivant t. I.1.c En déduire la différentielle totale de la fonction f. I.2 Déterminer la relation existant entre les quantités ? ? et k pour que la fonction f vérifie pour tout x et tout t, la relation ? ?2 f (x, t)?x 2 = 1v 2 ?2 f (x, t)?t 2 où ? ? est une constante dont on déterminera les caractéristiques en fonction de ? ? et k.

  • horloge mesurant le temps par écoulement

  • système d'équations linéaires

  • ordre de difficulté

  • matrice carrée d'ordre


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : edu.upmc.fr
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LM100 Méthodes de calculs et Statistiques  2005-2006 Examen du 5 septembre 2006 (durée 2 heures) Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté.I. Fonction de plusieurs variables Soit f la fonction, dépendant de la positionxet du tempstdéfinie par avec , etkdes constantes positives.
I.1.aCalculer la dérivée partielle
ainsi que la dérivée seconde
defsuivantx.
I.1.bet suivantCalculer, de même, les dérivées partiellest. I.1.cEn déduire la différentielle totale de la fonctionf. I.2Déterminer la relation existant entre les quantitésetkpour que la fonctionfvérifie pour toutxet toutt, la relation où estune constante dont on déterminera les caractéristiques en fonction deetk. II. Etude de fonction On considère la fonctionh, à valeurs réelles, définie par II.1la formule de Taylor à lordre Rappelernvoisinage de auxo, pour une fonction quelconquef(x),nfois dérivable. II.2Calculer alors le développement limité deh(x) à lordre 1 au voisinage dexo=2. II.3.aOn définit alors une autre fonctiong(x)de la forme
Déterminer son intervalle de définition. Cette fonction est-elle paire ou impaire ? Pourquoi ?
II.3.bUtiliser la réponse de la questionII.2pour obtenir la limite suivante :
II.3.cMontrer que la dérivée deg(x)peut sécrire sous la forme :
En déduire que la fonction possède un extrémum enx=0et préciser sil sagit dun minimum ou dun maximum. Trouver la limite.
II.3.dDresser alors le tableau des variations deget tracer son graphe. III. Résolution dun système déquations linéaires
On considère le système déquations linéaires à variables complexesxetysuivant :
III.1ce système sous la forme, où M est une matrice carrée dordre 2 à Ecrire coefficients numériques complexes et.
III.2Calculer le déterminant de la matrice M : III.3Ce système est-il régulier ? Combien a-t-il de solutions ? III.4.Résoudre ce système afin de déterminer les composantes de IV. Equation différentielle Une clepsydre est une horloge mesurant le temps par écoulement dune certaine quantité de liquide. Cette quantité est modélisée par la fonctionh(t) donnantla hauteur de leau dans la clepsydre en fonction du tempst. Lévolution temporelle du niveau deau vérifie ainsi léquation différentielle suivante : où estun paramètre réel différent de 1 que lon désire ajuster pour obtenir une évolution linéaire du niveau de leau en fonction du temps. IV.1 Résoudreléquation ci-dessus dans le cas général où. A linstant initial (t=0), la hauteur du liquide est égal àho.
IV.2Trouver alors le paramètre
pour avoir une évolution linéaire en fonction du temps de
la hauteur de leau dans la clepsydre (cest-à-dire une fonction de la formeh(t)=At+B).
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