Macroeconomie Financiere QCM

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Macroeconomie Financiere QCM

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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EDHEC 2007 ´ OPTION : ECONOMIQUE ´ MATHEMATIQUES
Exercice 1 t Pour toute matriceM´el´tdeemenM2(R),on noteMtrceriat´eosspanedelmaM,e´daledein   a ba c t fac¸onsuivante:siM= alorsM=. c db d      1 00 10 00 0 On poseE1=, E2=, E3= etE4= 0 00 01 00 1 On rappelle queB= (E1, E2, E3, E4) est une base deM2(R). t On noteϕacilnoit`iuquotatematricelppaMdeM2(R) associeϕ(M) =M+M . 1. a)Montrer queϕest un endomorphisme deM2(R). b) Ecrirela matriceAdeϕdansB. c)End´eduirequeϕest diagonalisable et non bijectif. 2n n1 2. calculerAtourtou,peuqeriude´dnetendeN:A= 2A 3. a)Monterr que Imϕ(= VectE1, E2+E3, E4),uis´pilqrtebaIm(meuidϕ) = 3. b)End´eduireladimensiondekerϕpuisd´etermineurenabesedekrϕ. c) Etablirque Imϕesseltesuocapsorpelava´i`esscorpaepre2rproaleu d)Donner,pourre´sumer,lesvaleurspropresdeϕainsi qu’une base de chacun des sous-espacespropresassocie´s.
Exercice 2 On admet que siZ1etZ2a`edrisee´d,sntiablevarieatosal´pseeecaxuedtnosn´essieleuremmˆ probabilis´e,alorsleurcovariance,sielleexiste,estde´niepar: Cov (Z1, Z2) =E(Z1Z2)E(Z1)E(Z2)
Onadmete´galementquesiZ1etZ2e.eestnullvoraaicnrolsuecrntdaalesd´ineneptnos Onconsid`eredeuxvariablesal´eatoiresr´eellesXetU´e(Ωilisobabceprd´nieemeˆapseussemelr,A,P), ind´ependantes,Xsuivant la loi normaleN(0,1) etUusvinaltlaioidscr`eteuniformesru{−1,1}. On poseY=U Xet on admet queYenavseutellairbaoire´eatnsit`adene´d,e´uaelleeiurisss lespaceprobabilis´e(Ω,A,P). 1.a)Enutilisantlaformuledesprobabilite´stotales,montrerque:
P (Yx([) = PU= 1][Xx]) + P ([U=1][X≥ −x])
b)Ende´duirequeYueiqsltiueˆmaolemX. 2.a)Calculerlesp´erancedeUpuis montrer queE(XY) = 0 b)Ende´duirequeCov(X, Y) = 0. Rx2 +2 21 3. a)Rappeler la valeur deE(Xuetierenqd´e)deux e= 2π 2 0 2
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b)Montrer,grace`auneinte´grationparpartiesque Z Z A A 2 22 x Ax 4322 22 AR+:x edx=A e+ 3x edx 0 0 Rx+3 2 4c)Ende´duirequelinte´graledxx e2converge et vautπ. 2 0 2 4 d) Etablirfinalement queXmnuenemosopde`stq4eueotdrerdE(X) = 3 2 2 4.a)Ve´rierqueE(X Y) = 3 2 2 b)D´eterminerCov(YX ,) 2 2 c)End´eduirequeXetYsquealortrer.Monadnesetnnisape´desntponXetYne le sont pas non plus. d)Cetexerciceapermisdemontrerquunre´sultatclassiqueconcernantlesvariablesdiscr`etes estencorevalablepourlesvariabales`adensite´.Lequel?
Exercice 3 1. a)Montrer que pour toutx >0 :xln (x)>0 ln (x) f(xsi) =x >0 b) Onpose alorsxln (x) f(0) =1 D´eterminerlensembleded´enitionDde la fonctionf. 2. a)Montrer quefest continue surD. 0 b) Montrerquefeuets´drevibael(`adroite)en0etqf(0) = 0. d 0 3. a)Justifier quefbaelreviusrd´steD\ {0}et calculerf(x) pour toutxdeD\ {0}. b)De´terminerlalimitedefen +. c) Dresserle tableau de variations def. 4. Etudierle signe def(x). R x 5.Pourtoutre´elxme´ldetnee´D,on poseF(x) =f(t)dt 0 1 a) MontrerqueFest de classeCsurDuipieudets´srseavirtaoisn. R x lnt b)D´eterminerlimdt. 1t x+R x lnt c)End´eduirelimdtpuis limF(x).. 1tlnt x+x+Proble`me Onlanceunepie`cee´quilibr´ee.(laprobabilite´dobtenirpileetcelledobtenirfacee´tanttoutes 1 deuxe´gales`a)etonnoteZecnau`ornolitbotlenreepermilbaeraaiotri´laealeae´eggduluranavl 2 ”pile”. Apre`scettes´eriedelancers,siZa pris la valeurk(kN), on remplit une urne dekboules num´erot´ees1,2,∙ ∙ ∙, k,puis on extrait au hasard une boule de cette urne. On noteX`eprapsliretea´ee´detirc´corrudee´egaleal´eatoiredaloblunumue´oravleabliaarus.desseci-1.Onde´cidedecoderle´v´enementobtenirunpile1lrtaep´ve´menetneobtenir un << ”face”par 0. On rappelle que la fonctionrandomrenvoie, pour un argumentkde typeintegero(u`kgnee´isd unentiersup´erieuroue´gal`a1)unentierale´atoirecomprisentre0etk1. EDHEC˙e˙2007 Page2/ 4
a)Compl´eterleprogrammesuivantpourquilachelavaleurpriseparZre`emierpaledsrol partiedelexpe´riencede´criteci-dessus. Program edhec2007 ; Var z,hasard :integer; begin randomize ;z :=0; repeat z :=.........; hasard :=.........; until (hasard=1); writeln(z) ; end. b)Quelleinstructionfaut-ilrajouteravantladerni`erelignedeceprogrammepourquil simulelexp´erienceal´eatoirede´critedansceprobl`emeetachelavaleurpriseparla variableal´eatoireX?  k 1 12.Etablirlaconvergencedelas´eriedetermege´n´eral(kN). k2 3. Rappelerla loi deZsniaeuqi.eaicnvaraeetsrancsp´esone ∗ ∗ 4. a)Pour tout couple (i, k) deN×N,mrreentirep´adlbabotiliP´e[Z=k](X=i) +P k 1 1 b)Ende´duirequeiN, P(X=i) =. k2 k=i +++k+P PP PP c)Onadmetdanscettequestionque=.V´erierqueP(X=i) = 1 i=1k=i k=1i=1i=1  i1 1 5. a)Montrer que, pour tout entier naturelinon nul, on a :iP (X=i)2 b)Ende´duirequeXeunes`edposec.renase´p P c) Montrer,en admettant qu’il est licite de permuter les symbolescomme dans la question 4c), que 3 E(X) = 2 6.a)Utiliserlere´sultatdelaquestion5a)pourmontrerqueXa un moment d’ordre 2. P b) Etablir,alors, toujours en admettant qu’il est licite de permuter les symbolescomme dans la question 4c), que + k X   1 1 2 E X= (k+ 1) (2k+ 1) 6 2 k=1
c)D´eterminerlesre´elsa, betctels que :kN, (k+ 1) (2k+ 1) =ak(k1) +bk+c. 11 2 d)End´eduirelavaleurdeE(Xuerqe)etv´eriV(X.) = 12 7.a)Ecrireline´galit´edeBienayme´-Chebychev,pourlavariableX. 11 b)Ende´duireP(X3)27 8. Onse propose de calculer P(X= 1),P (X= 2) et P(X3). n P k1 a) Ecrireexplicitement en fonction dexetnla sommex(ntureernaentintungian´dsel k=1 non nul etx.1)dentre´eildee´rnu n P  Rn k1/2 1 1x b)End´eduireque:nNln (2): =dx k2 01x k=1
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