MAT242 CC2 Mardi Avril 9h45 11h15

Publié par

MAT242 2011-2012 CC2 Mardi, 24 Avril 2012, 9h45-11h15 Documents, calculatrices et telephones portables interdits. Autour du cours Soit f : R? C une fonction 2pi-periodique. 1.Donner la definition des coefficients de Fourier an(f) et bn(f), ainsi que la definition de la serie de Fourier de f . 2. Enoncer le theoreme de Parseval. 3. Soit S(z) = ∑ n≥0 ?nz n une serie entiere de rayon de convergence R > 0, avec (?n)n une suite de reels. On fixe un reel r tel que 0 ≤ r < R, et on pose f(?) = S(rei?) + S(re?i?) 2 . a. Verifier que f est 2pi-periodique et que f(?) = ∑ n≥0 ?nr n cos(n?). b. Justifier que la serie definissant f converge normalement sur R. c. Quels sont les coefficients de Fourier de f ? Exercice 1 Pour tout n ≥ 1, on definit la fonction un : [0,+∞[? R, x 7? e?n 2x n3/2 . 1. Etudier la convergence normale, uniforme et simple de la serie de fonctions ∑ n≥1 un sur [0,+∞[.

  • somme partielle

  • portables interdits

  • signe ∑

  • convergence normale

  • ?pi cos

  • critere de comparaison

  • serie definissant

  • rayon de convergence


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 41
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 3
Voir plus Voir moins
MAT242 2011-2012
CC2
Mardi, 24 Avril 2012, 9h45-11h15
Documents,calculatricesett´el´ephonesportablesinterdits. Autour du cours Soitf:RCune fonction 2πp-e´irodique. 1.Donnerlade´nitiondescoecientsdeFourieran(f) etbn(f,)ianitid´euelansiqedeire´saledno Fourier def. 2.Enoncerleth´eor`emedeParseval. X n 3. SoitS(z) =λnzecodeonayncgeernve´ireetn`iredereunesR >0, avec (λn)nune suite de n0 S(re) +S(re) r´eelsnu´rnex.Oeelrtel que 0r < R, et on posef(θ) =. 2 X n a.Ve´rierquefest 2π-p´erieuqteeuqidof(θ) =λnrcos(). n0 b.Justierquelas´eried´enissantfconverge normalement surR. c. Quels sont les coefficients de Fourier def? Exercice 1 2 n x e Pour toutntincon1o,dne´ntialofun: [0,+[R, x7→. 3/2 n X 1.Etudierlaconvergencenormale,uniformeetsimpledelas´eriedefonctionsunsur [0,+[. n1 X 2. On noteS(x) =un(x) pour toutx0. Montrer queSest continue sur [0,+[. n1 X 0 3.Etudierlaconvergencenormaledelase´riedefonctionsusur [0,+[, puis sur tout invervalle n n1 de la forme [a,+[, aveca >0. 0 4. Montrer queSsuleabiverd´ste]r0,+[ et exprimerSdunormeousfs.nsnofeoitce´sedeir X 0 5.Montrerquelase´riedefonctionsuifnoercmo´nevmergepasunnestru0],+[ (on pourra n n1 X 2 0 −(n+1)x d´emontrerque|u(x)| ≥n+ 1epour toutx >0) n kn+1 Exercice 2 X n 1.D´eterminerlerayondeconvergencedelas´erieenti`ereanxdans les cas suivants : n0 (2n)!n2 n an= ;an= () ;an=`n(1 + 1/n). (n+ 1)!n!n+ 1 X 2n 2.Calculerlerayondeconvergenceetlasommedelas´erieentie`re(n+ 3n)x. n0 21 x 3.D´evelopperlafonctionf:x7→eisiovuaere`itneeri´ense+denagex= 0. 2 1 +x
1
Corrig´esuccinct: Cours : 1. Cf. cours 2. Cf. cours i(θ+2π)2iπ iθi(θ+2π)23. a) La 2π´esodri´e-ppr´eiticedtneivotilage´se=e e=eete=e e=e. X X ±±niθ n±inθ De plus, on aS(re) =λn(re) =λnr e. Ainsi, on a n0n0 X X inθinθ e+e n n f(θ) =λnr=λnrcos(). 2 n0n0
n n b)On a||λnrcos()||=|λn|r. Commer < Reeetn`ireas,lri´eSconverge normalement sur P n le disque{z| |z| ≤r}(cours). En particulier,|λn|rtssaneniied´s´erniatalisrevne,egcof converge normalement surR. P c)Commelase´riede´nissantfmalement,onpeut´cnoevgrnerolett´inraeg.leahceregniseleng R π En utilisant le fait quecos() cos()= 0 sin6=m,πsin=m >0, et 2πsin=m= 0, π R π ainsi quecos() sin()= 0 pour toutn, m, on obtient π a0(f)/2 =λ0, an(f) =λn, n1 etbn(f) = 0, n0.
Exo 1 : 3/2 1.Laconvergencenormaleprovientdeline´galite´|un(x)| ≤1/npour toutx`erede0teudrcti Riemann. De plus, on aCV NCUCS. + 2. Puisque on a CVN surR, on a CS, et commeunest continue pour toutn0, chaque somme partielleestcontinue.Onconclueparunthe´or`emedecoursquelalimiteSest aussi continue sur + R. 2√ √ 0 −n x0+ 3. On au(x) =e n. On a facilement||u||+=n, donc on n’a pas CVN surR. n nR 20 −nan a2 Par contre, on a||u||[a,+[=e n. Or, pournassez grand, on a 0e n1/n(car n 2 5/2n a n e0 quandn+, puisquea >lecrtparanneRiemraiaocpmeredtie`n,soyilraP.)0 a donc convergence normale sur [a,+[. 4. Soitx0>0, et soit 0< a < x0. Pour toutn,undtseblvari´e[uresa,+[, donc les sommes partielles P 0 aussi. De plus,Sconverge simplement sur [a,+e[ltsae´ireuest CVN donc CU sur [a,+[. n P P 0 0 ) =u(x) pour De plus,unconverge simplement. DoncStsere´dabivsuler[a,+[ et on aS(xn toutxa`roe´htnuocudemearnp.Erserlicutiaipour,cestvrparux=x0taultcnel´rseO.anod voulu, puisquex0de]0airebitrntarle´neme´utse,+[. X2X 0 −(n+1)x0 5. On aRn(x) =|u(x)|=n+ 1e+ des termes positifs, donc|u(x)| ≥ n n kn+1kn+1 2 (n+1)x n+ 1epour toutx0.Enappctnauqil1a`ice/(ntp,e1)+nied´arudusitnoa,pno ||Rn|| ≥ |Rn(1/(n+ 1))| ≥n+ 1/e+
et donc||Rn||ne converge pas vers 0 quandn+. Exo 2 : (2n+2)(2n+1)|x| n+1n 1. Pour le premier cas,|an+1x|/|anx|=4|x|, doncR= 1/4 par d’Alembert. (n+2)(n+1) p nn n n Pour le second cas,|anx|= (n/n+ 1)|x|=|x|/(1 + 1/n)→ |x|/e, doncR=epar Cauchy P n Pourletroisi`emecas,an1/n, et commez /nconvondenrayau`e1agelacn´ereegar(p d’Alembert par exemple), on a aussiR= 1.
2
2. Par D’Alembert par exemple,R= 1. P PP 2 2n nn De plus, on an+ 3n=n(n1) + 4n. Ainsi(n+ 3n)x=n(n1)x+ 4nx. n0n0n0 On a ainsi X XX XX 2n2n2n1 2n00n0 (n+ 3n)x=x n(n1)x+ 4x nx=x(x4) +x(x), n0n2n1n0n0 P 2n200 022 3 soit (n+ 3n)x=x(1/(1x)) +4x(1/(1x2)) =x /(1x4) +x/(1x) . n0 P2 u n2x 3. Comme on ae=u /n! pour toutu, on peut remplaceruparxpour obtenire= n0 P P n2n n (1)/n!x. Comme on a 1/(1u) =upour toutu]1,1[, pour toutx]1,1[, n0n0 P 2 2n2n on ax]1,1[, et donc 1/(1 +x() =1)xpour toutx]1,1[. n0 Ainsi, on a X n! + 1 n2n f(x() =1)x n! n0 pour toutx]1,1[.
3
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.