Mathématiques 1 2004 Classe Prepa TSI Concours Centrale-Supélec

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Concours du Supérieur Concours Centrale-Supélec. Sujet de Mathématiques 1 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1 2004 sur Bankexam.fr.
Publié le : mercredi 28 février 2007
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MATHÉMATIQUES I

Filière TSI

MATHÉMATIQUES I
Partie I On considère l’intégrale :
In=
π -2 n

∫0

cos x d x

où n désigne un entier naturel. I.A I.A.1) I.A.2) I.B I.B.1) I.B.2) Déterminer une relation de récurrence entre I n + 2 et I n . En déduire une expression de I 2n et I 2n + 1 à l’aide de factorielles. Montrer l’équivalence : I n ∼ I n + 1 . Montrer que la suite ( J n ) n ∈ IN avec J n = ( n + 1 )I n I n + 1 est constante et
π 2n

en déduire l’équivalence : I n ∼ ------ . I.B.3) Application 1 Montrer, lorsque t , réel, tend vers +∞ , l’équivalence :

∫ 0 ( cos x )

π -2

t

dx



π ---- . 2t

I.B.4) Application 2 À l’aide de la série de terme général u n = grale impropre

∫1

+∞

sin x d x est divergente.

x

∫ nπ

( n + 1 )π

sin x d x , montrer que l’inté-

x

I.C - On pose, pour n ≥ 1 , u n = ⎛ n + 1⎞ ln n – n – ln n! et v n = u n + 1 – u n . --⎠ ⎝ 2 I.C.1)
vn

Montrer l’équivalence :
1 ∼ ------------ . 2 12n

I.C.2) limite.

En déduire que la suite ( u n ) n ∈ IN est convergente. On notera S sa 1/6

Concours Centrale-Supélec 2004

MATHÉMATIQUES I

Filière TSI

Filière TSI
I.D - Établir l’existence d’une constante C > 0 telle que :
n!
1 n + -2 –n

∼ Cn ∼

e

. .

I.E - En utilisant la question I.B.2, en déduire l’équivalent de Stirling :
n! 2πn n e
n –n

Partie II On considère les séries entières :
n≥1

∑ -----n

x

n

et

n≥1

∑ ln ⎛ 1 + ---⎞ x ⎝ n⎠

1

n

.

II.A - Montrer que la première série entière définit une fonction continue sur [ – 1 , 1 [ et calculer sa somme f . II.B - On considère la seconde série entière. II.B.1) Déterminer son rayon de convergence. On note g sa somme, là où elle converge. II.B.2) Montrer que cette série entière converge pour x = – 1 et calculer g(– 1) . II.C - Déterminer la limite à gauche de g en 1 . II.D II.D.1) II.D.2) Montrer l’existence d’une limite l à gauche en 1 de g(x) + ln ( 1 – x ) . On pose, pour n entier strictement positif,

1 1 w n = 1 + -- + … + -- – ln n . 2 n

Montrer que la suite ( w n ) n ∈ IN est décroissante. II.D.3) Montrer que ( w n ) n ∈ IN converge vers un réel γ strictement positif. II.E - Établir que l = – γ .

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MATHÉMATIQUES I II.F - Une expression intégrale de γ . On pose I = II.F.1) II.F.2)
1

Filière TSI

∫0

1 ⎛ 1 + --------------------⎞ dt . ⎝ -- ln ( 1 – t )⎠ t

Montrer l’existence de I . Montrer que I =

∫0

+∞

1 1 ⎛ ---------------- – --⎞ e – x d x et que l’application – x x⎠ ⎝ 1–e

1 1 Φ : x a ---------------- – -- est bornée sur ]0, +∞ [ . –x x 1–e

II.F.3)

Montrer que pour tout n ≥ 1 , on a
+∞ e – e +∞ – ( n + 1 ) x 1 1 I = 1 + -- + … + -- – ∫ e Φ( x) d x . ----------------------------------- d x + ∫ x 2 n 0 0 –x –( n + 1 ) x

II.F.4)

Montrer que pour n ≥ 1 et ε > 0 , on a

∫ε
II.F.5)

+∞

e –e ----------------------------------- d x = x
–x –( n + 1 ) x

–x

–( n + 1 ) x

∫ε

( n + 1 )ε

e ------- d x . x

–x

Calculer l’intégrale

∫0
II.F.6)

+∞

e –e ----------------------------------- d x . x

En déduire I = γ .

Partie III On considère deux séries entières ∑ a n x et ∑ b n x . On fait les hypothèses n≥0 n≥0 suivantes : • La suite ( a n ) n ∈ IN est à termes positifs. • La série •
n≥0 n n

∑ an

diverge.

n≥0

∑ an x

n

a un rayon de convergence égal à 1 .

• bn = o ( an ) On note u et v les sommes respectives de ces deux séries entières sur leur intervalle ouvert de convergence. III.A III.A.1) Montrer que

n≥0

∑ bn x

n

a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1 .

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MATHÉMATIQUES I

Filière TSI

III.A.2) On fixe un réel ε strictement positif. Montrer qu’il existe un entier naturel N tel que pour tout x tel que 0 ≤ x < 1 ,
N

v( x) ≤

n=0



ε b n + -- u( x) . 2

III.A.3) En déduire qu’au voisinage de 1 v( x)= o ( u( x) ) . III.B - Montrer que si l’on remplace l’hypothèse b n = o ( a n ) par a n ∼ b n , alors au voisinage de 1 on a l’équivalence : u(x) ∼ v(x) . III.C - Application 1 : III.C.1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière
n≥1

∑n

3

1 n ln ⎛ ch -- ⎞ x . ⎝ n⎠

III.C.2) Déterminer un équivalent simple en 1 de sa somme. III.D - Application 2 : On considère les séries entières
n≥1

∑ Hnx

n

et

n≥1

∑ ( ln n )x

n

, où l’on a posé pour n ≥ 1

1 1 H n = 1 + -- + … + -- . 2 n

III.D.1) Vérifier que leur rayon de convergence est 1 et montrer que
+∞

∀ x ∈ ] – 1, 1 [ , ( 1 – x )

n=1



Hnx

n

= – ln ( 1 – x ) .

III.D.2) En déduire un équivalent au voisinage de 1 de
n≥1

∑ ( ln n )x

n

.

On pourra utiliser II.D.3. III.E - Application 3 : On pose pour x ∈ ] – 1, 1 [ ,
J ( x) =

∫0

π -2

1 ------------------------------- dt . 2 2 1 – x cos t

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MATHÉMATIQUES I III.E.1) Développer en série entière, au voisinage de 0 , la fonction
1 x a ------------------------ . avec a > 0 et préciser son rayon de convergence. 2 2 1–a x

Filière TSI

III.E.2) Montrer pour tout x ∈ ] – 1, 1 [ la relation
+∞

J ( x) =

n=0

∑ an I 2n x

2n

,

avec I 2n les intégrales étudiées en partie I et ( a n ) n ∈ IN une suite que l’on explicitera. III.E.3) Montrer qu’il existe une constante K réelle tel qu’au voisinage de 1 on ait l’équivalence : J (x) ∼ K ln ( 1 – x ) et préciser la valeur de K .

Partie IV On considère deux séries entières ∑ a n x et ∑ b n x . On fait les hypothèses n≥0 n≥0 suivantes : • La suite ( a n ) n ∈ IN est à termes positifs non tous nuls. • A n ∼ B n , où l’on a posé
n n n n

An =

p=0



a p et B n =

p=0



bp

• Le rayon de convergence de la série diverge.

n≥0

∑ an x

n

est égal à 1 et la série

n≥0

∑ an

On note u et v les sommes respectives de ces deux séries entières sur leur intervalle ouvert de convergence. IV.A - Vérifier l’égalité, pour tout x réel
n n

(1 – x)

p=0


n

Apx

p

=

p=0



a p x – An x

p

n+1

.

et en déduire que le rayon de convergence de
n≥0



A n x est égal à 1 .

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MATHÉMATIQUES I IV.B - Établir les relations, pour tout x ∈ ] – 1, 1 [
∞ n=0 ∞ n=0 ∞ ∞ n=0

Filière TSI



An x

n

1 = ----------1–x



an x

n

et

n=0



Bn x

n

1 = ----------1–x

∑ bn x

n

.

puis en déduire qu’au voisinage de 1 , on a : u(x) ∼ v(x) . IV.C - Application 1 : On considère la série entière

n

Vérifier que son rayon de convergence est 1 et montrer qu’au voisinage de 1 , on a l’équivalence sera.
n=0

n≥0

∑x

a

n

, où a est un entier supérieur ou égal à 2 .



x

a

∼ L ln ( 1 – x ) , où L est une constante réelle que l’on préci-

IV.D - Application 2 : IV.D.1) Montrer que les séries entières

∞ n=0



x

n

2



et

n=0

∑(

n + 1 – n )x

n

sont de rayons de convergence 1 et que l’on a, au voisinage de 1 ,l’équivalence :
∞ n=0




x

n

2



∼ ∑

( n + 1 – n )x .

n

n=0

IV.D.2)

En déduire que l’on a, au voisinage de 1 , l’équivalence :

n=0



x

n

2

1 ∼ ---------- ∑ 2π



In x ,

n

n=0

où ( I n ) n ∈ IN est la suite étudiée dans la première partie. IV.D.3)
∞ n=0

Montrer que pour x ∈ ] – 1, 1 [ , on a l’égalité :



In x

n

=

∫0

π -2

dt ---------------------- . 1 – x cos t

IV.D.4) Calculer l’intégrale ci-dessus et en déduire qu’au voisinage de 1 , on a l’équivalence :
∞ n=0



x

n

2

D ∼ ---------------- , 1–x

où D est une constante réelle strictement positive que l’on précisera. ••• FIN •••

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