Mathématiques 1997 Scientifique Baccalauréat général

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Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques 1997. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1997 sur Bankexam.fr.
Publié le : samedi 29 mars 2008
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Baccalauréat (filières générales) / 1997 / Mathématiques
Exercice : Tirage dans une urne
Une urne contient deux boules blanches et quatre boules noires. Ces six boules sont indiscernables au
toucher.
1. On effectue quatre tirages successifs d'une boule sans remise.
a) Calculer la probabilité de tirer dans l'ordre une boule noire, une boule noire, une boule noire et une boule
blanche.
b) Calculer la probabilité de tirer une seule boule blanche au cours de ces quatre tirages .
2. On effectue maintenant quatre tirages successifs d'une boule avec remise. Répondre aux mêmes questions
qu'à la question 1.
3.
n
étant un nombre entier strictement positif, on effectue
n
tirages successifs avec remise. On appelle P
n
la
probabilité d'obtenir au cours de ces
n
tirages une boule blanche uniquement au dernier tirage.
a) Calculer P
1
, P
2
, P
3
et P
n
.
b) Soit S
n
= P
1
+ P
2
+ P
3
+ ... + P
n
(
n
> 1).
Exprimer S
n
en fonction de
n
et déterminer la limite de S
n
.
Exercice : Transformation complexe
Le plan complexe P est rapporté au repère orthornormal direct (O ; ) (unité graphique : 3 cm).
On désigne par A le point d'affixe
i
.
A tout point M du plan, distinct de A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' défini par :
z' =
1. Déterminer les points M confondus avec leur image M'.
2. Etant donné un complexe z distinct de
i
, on pose z =
x
+ iy et z' =
x
' + iy' , avec
x
,
y
,
x
',
y
' réels.
Montrer que :
x
' =
En déduire l'ensemble E des points M dont l'image M' est située sur l'axe des imaginaires purs . Dessiner
Exercice : Tirage dans une urne
1
l'ensemble E.
3. Trouver une relation simple liant les longueurs OM, AM et OM'. En déduire l'ensemble F des points M
du plan tels que M et M' soient situés sur un même cercle de centre O. Dessiner l'ensemble F.
4. Dans toute cette question, on considère un point M d'affixe z, situé sur le cercle de centre A et de rayon .
M' est le point d'affixe z' correspondant, et G l'isobarycentre des points A, M et M'.
Calculer l'affixe de G en fonction de z.
Montrer que G est situé sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon. Après avoir comparé les
angles
et
, effectuer la construction de G. En déduire celle de M'.
Problème : Fonction logarithme
Dans tout le problème, on se place dans un repère orthonormal
. L'unité graphique est 2 cm.
Partie A. - Etude d'une fonction g
Soit
g
la fonction définie sur ] O, + [ par :
g(x) = x ln x - x +
1 et C sa représentation graphique dans le repère
.
1. Etudier les limites de
g
en 0 et en + .
2. Etudier les variations de
g
. En déduire le signe de
g(x)
en fonction de
x
.
3. On note C' la représentation graphique de la fonction
x ln x
dans le repère
. Montrer que C
et C' ont deux points communs d'abscisses respectives 1 et
e
et que, pour tout
x
élément de [ 1 ,
e
], on a :
On ne demande pas de représenter C et C'.
4.
a) Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale :
b) Soit le domaine plan défini par :
Déterminer, en cm
2
, l'aire de . Donner une valeur décimale approchée à 10
-2
près de cette aire.
Partie B. - Etude d'une fonction
f
Soit
f
la fonction définie sur ] 1, + [ par :
Exercice : Transformation complexe
2
1. Etudier les limites de
f
en + et en 1 (pour l'étude de la limite en 1, on pourra utiliser un taux
d'accroissement).
2. Déterminer le tableau de variation de f (on pourra remarquer que
f'(x)
s'écrit facilement en fonction de
g(x)
).
3. Tracer la courbe représentative de
f
dans le repère
.
Partie C. - Etude de l'équation :
1. Montrer que l'équation
admet une unique solution notée et que 3,5 < < 3,6.
2. Soit
h
la fonction définie sur ] 1, + [ par :
a) Monter que est solution de l'équation
h(x) = x
.
b) Etudier le sens de variation de
h
.
c) On pose I = [3 , 4]. Montrer que pour tout
x
élément de I on a
h(x
)
I et
3. On définit la suite (u
n
) par :
u
o
= 3 et pour tout
n
0
u
n+1
=
h
(
u
n
).
Justifier successivement les trois propriétés suivantes :
a) Pour tout entier naturel
n
,
b) Pour tout entier naturel
n
,
c) La suite (
u
n
) converge vers .
4. Donner un entier naturel
p
, tel que des majorations précédentes on puisse déduire que
u
p
est une valeur
approchée de à 10
-3
près. Indiquer une valeur décimale approchée à 10
-3
près de
.
Problème : Fonction logarithme
3
Exercice : Dés cubiques
Trois dés cubiques sont placés dans une urne.
Deux de ces dés sont normaux : leurs faces sont numérotées de 1 à 6. Le troisième est spécial : trois de ses
faces sont numérotées 6, les trois autres sont numérotées 1.
On tire de l'urne, simultanément et au hasard, deux dés parmi les trois et on les lance.
On note A l'événement : " les deux dés tirés sont normaux ".
On note B l'événement : " les deux faces supérieures sont numérotées 6 ".
1.
a) Définir l'événement contraire de A, qu'on notera .
b) Calculer les probabilités de A et de .
2.
a) Calculer P(B/A), probabilité de B sachant que A est réalisé, puis
.
b) Calculer P(B).
3. Calculer P(A/B), probabilité de A sachant que B est réalisé.
Exercice : Transformation complexe
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct
, ayant comme unité graphique 4
cm.
On note A, B et C les points d'affixes respectives 2
i
, -1 et
i
.
On considère l'application
f
de P - {A} dans P qui, à tout point M de P - {A} d'affixe z, associe le point M'
d'affixe z' telle que :
1.
a) Faire une figure que l'on complétera au cours de l'exercice.
b) Déterminer l'affixe du point C' image de C. Quelle est la nature du quadrilatère ACBC' ?
c) Montrer que le point C admet un unique antécédent par
f
que l'on notera C'' . Quelle est la nature du
triangle BCC'' ?
Exercice : Dés cubiques
4
2. Donner une interprétation géométrique de l'argument et du module z'.
3. Déterminer, en utilisant la question précédente, quels sont les ensembles suivants :
a) L'ensemble E
a
des points M dont les images par
f
ont pour affixe un nombre réel strictement négatif.
b) L'ensemble E
b
des points M dont les images par
f
ont pour affixe un nombre imaginaire pur non nul.
c) L'ensemble E
c
des points M dont les images appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1.
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Exercice : Transformation complexe
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