Mathématiques 1999 BTS Métiers de l'eau

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Examen du Supérieur BTS Métiers de l'eau. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.
Publié le : vendredi 6 mars 2009
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BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR
SOUS-ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES
GROUPE D (Durée : 2 heures)
SPECIALITES Biochimiste Biotechnologie Hygiène-propreté-environnement Métiers de l'eau Peintures, encre et adhésifs Plastiques et composites Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries
SESSION 1999
COEFFICIENT 1,5 1,5 2 1,5 2 2 2
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies . L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
Le formulaire de mathématiques est joint au sujet.2 feuilles de papier millimétré par candidat.
Exercice 1 : (9 points)
Une entreprise fabrique des pots de peinture. Elle les fait livrer habituellement par lots de 20 pots ou de 100 pots. On se propose d'étudier les variations de la quantité d'un certain produit A contenu dans chaque pot.
Partie A
On suppose que la production totale de l'entreprise est très importante et que 7,5 % des pots fabriqués contiennent plus de 110 g de substance A. On note X la variable aléatoire qui à tout tirage aléatoire de 20 pots (tirage considéré comme tirage avec remise) associe le nombre de pots contenant plus de 110 g de substance A. On note de même Y la variable associée dans le cas de tirages de 100 pots.
l °) Préciser la loi de X.
2°) Calculer au millième le plus proche la probabilité de l'événement « X = 1 ».
3°) Préciser la loi de Y.
4°) On veut approcher la loi de Y par une loi de Poisson de même espérance mathématique.  Préciser le paramètre de cette loi de Poisson.
5°) En supposant que Y suive effectivement la loi de Poisson ainsi définie, donner une approximation au millième le plus proche de la probabilité de l'événement «Y6».
Partie B
On a contrôlé le dosage du produit A à la sortie de deux chaînes de fabrication.
Deux échantillons de 100 pots ont été analysés ; l'un provient de la chaîne n°1, l'autre de la chaîne n°2.
33616.doc
1
Le tableau suivant donne la répartition de l'échantillon de la chaîne n°1 en fonction de la masse de produit A exprimée en grammes. :
m(en g)
effectifs
[100,102[
1
[102,104[
3
[104,106[
25
[106,108[
32
[108,l10[
27
[110,112[
6
[l12,l14[
4
[114,116[
2
On donne des valeurs approchées de la moyenne m2et de l'écart type2de l'échantillon fabriqué par la chaîne n°2 : m2= 107 et2= 2 (en grammes).
Dans les questions 1 et 2 les valeurs seront arrondies au dixième le plus proche.
1°) En prenant les centres des classes, calculer une approximation de la moyenne mi et de l'écart type aide l'échantillon issu de la chaîne n°1.
2°) En considérant les résultats obtenus dans la première question, donner les estimations ponctuelles :
a) des quantités moyennes1et2pour les productions de ces deux chaînes, de produit A
b) des écarts typess1ets2erpsc ronts.onda
3°) On se propose de savoir si la différence des moyennes observées dans les deux échantillons est due à des fluctuations d'échantillonnage ou si la chaîne de fabrication n°1 produit des pots contenant davantage de produit A que la chaîne n°2.
On noteX1de 100 pots provenant de la chaîne n°1 associe lala variable aléatoire qui a tout échantillon aléatoire quantité moyenne de produit A dans cet échantillon.
On noteX2la variable aléatoire qui a tout échantillon aléatoire de 100 pots provenant de la chaîne n°2 associe la quantité moyenne de produit A dans cet échantillon.
On admettra que :
¨
¨
¨
X1suit une loi normale de paramètres
X2suit une loi normale de paramètres
s1 1et10; s2 2et10;
X1etX2sont des variables aléatoires indépendantes ;
¨D=X1 - X2suit une loi normale.
On choisit l'hypothèse nulle Ho : «1=2» contre l'hypothèse alternative H1: «1>2»
a) Calculer la variance de la variable aléatoireD. On appelle(D)son écart type. Vérifier que
b) Calculer au centième le plus proche le réel a tel queP D
a0,99
c) L'hypothèse nulle Ho est-elle acceptée ou rejetée (au seuil de 1%) ?
33616.doc
(D)
0,32  
2
Exercice 2 : (11 points)
Dans cet exercice, les quatre parties peuvent être traitées de façon indépendante. La partie A a pour objet la détermination d'une loi d'évolution à partir de données statistiques. Les parties B et C correspondent à des modélisations données du phénomène étudié. La partie D envisage l'évolution de la population dans un nouveau contexte.
Partie A
On procède à une réimplantation d'écrevisses. On lâche 100 individus et on relève tous les six mois l'effectif n de la colonie d'écrevisses en fonction du temps écoulé t (exprimé en mois). On obtient ainsi huit effectifsni(i variant de 1 à 8) :
Tempsti(en mois) 0 6 Effectifsni100 160
12 18 24 350 900 2500
30 36 7500 22000
42 64000
1°) On poseyln(3n200)lnreprésente la fonction logarithme népérien. Calculer les valeurs yiln 3ni200pour i variant de 1 à 8 (valeurs décimales arrondies au millième le plus proche). On donnera ces valeurs dans un tableau.
2°) Représenter le nuage de pointsMiti;yidans un repère orthogonal (unités graphiques : 3 cm pour 6 mois sur l'axe des abscisses, 1 cm par unité sur l'axe des ordonnées).
3°) Donner une équation de la droite de régression de y en t (les coefficients seront donnés sous forme décimales, au centième le plus proche) et en déduire l'expression de n en fonction de t associée à cet ajustement.
Partie B
Dans cette partie, on considère que la fonction donnant le nombre d'individus en fonction du temps t (exprimé en mois) est représentée par une solution de l'équation différentielle
1°) Résoudre l'équation différentielle d'inconnue X : (E)X0,18X12 2°) Sachant que (E) admet une solution particulièreX0constante, donner la solution générale de (E)
3°) Déterminer la solution de (E) qui vérifie X(0) = 100.
Partie C   SoitO;i;j et 1 cm pour 4000 unités en ordonnées).( unités: 1 cm pour 3 mois en abscissesun repère orthogonal l °) Soit N la fonction définie sur l'intervalleI[0;42]parN(t)001e0,18t200
3 3  Etudier le sens de variation de N sur I .   2°) Tracer la courbe représentative de N dans le repèreO;i;j. On suppose que cette fonction représente correctement l'évolution du nombre d'écrevisses.
Partie D
A partir de t = 42, on décide d'autoriser la pêche aux écrevisses. On admet que la population d'écrevisses est alors représentée par la fonction F définie sur l'intervalle[42;72]par : F(t) 64000e0,043(t42 )
l °) Etudier F sur l'intervalle[42;72](variation et valeurs aux bornes). 2°) Tracer la courbe représentative de F dans le repère précédent (partie C), sur le même graphique qu'à la question C 3°) Déterminer graphiquement l'instant où la population devient inférieure à 32000 individus.
33616.doc
3
 
Session 1999
Exercice 1
Partie A On suppose que la production totale de l'entreprise est très importante et que 7,5 % des pots fabriqués contiennent plus de 110 g de substance A. On note X la variable aléatoire qui à tout tirage aléatoire de 20 pots (tirage considéré comme tirage avec remise) associe le nombre de pots contenant plus de 110 g de substance A. On note de même Y la variable associée dans le cas de tirages de 100 pots.
l ) On répète 20 fois la même épreuve de Bernouilli de paramètres p = 0,075 (7,5 % ) (probabilité qu’un pot contienne plu nte : X suit la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,075. 2°)p(X11)1C021´75,001´925,019»314,0  3°) De même, la loi de Y seraB200 ; 0,075
4°)B100 ; 0,075peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre 7,5100 0,075 5°)p(Y6)e7,5,7²5725,(715,37,547,5557,!6):p(Yσ6)1807,3. 3! 4! 5! 6 Partie 1)m11107,5,Μ112,5m2= 107 et2= 2 100 2)m11107,5,s11 Μ119009»2,5 ;m21107,s2 2299 3°) On se propose de savoir si la différence des moyennes observées dans les deux échantillons est due à des fluctuations d'échantillonnage ou si la chaîne de fabrication n°1 produit des pots contenant davantage de produit A que la chaîne n°2. s ¨X1suit une loi normale de paramètres1et110; s2 ¨X2suit une loi normale de paramètres2et10; ¨X1etX2sont des variables aléatoires indépendantes ; ¨D=X-X2suit une loi normale. 1 On choisit l'hypothèse nulle Ho : «1=2» contre l'hypothèse alternative H1: «1>2»
c)V(D)V(X1)V(X2) 0,25² 0,1025 0,2² d’où :(D) 0,1025, et(D) 0,32 
d) Sous l'hypothèse nulle Ho, D suit une loi normale de paramètres 0 et 0,32. SoitT0,D32, la variable centrée réduite associée à D. P D a P(T0,a,0()32a099,0)32,a3,3322a0,7456
a) On a donc :P(D00,75!10,99 m1m2 0,5107,5 107, et0,5
Exercice 2 : (11 points)
Partie A. ti
0
6
0,75 acceptée (au seuil de 1%)., l'hypothèse nulle Ho est donc
12
33616.doc
18
24
30
36
42
4
yi
4,605
5,635
6,745
3. A l'aide d'une calculatrice, on obtient :y0,18t Par conséquent :ln(3n200) 0,18t4,58 3n 200 n 3
On en déduit :3n
200e4,58
018t e
7,824
8,896
10,012
11,094
4,58 t18t 200e0,18 4,58e4,58e0, e4,58e018t 3, D’où :n»320,5e0,18t#0203
Partie B. ·L'équation différentielleX0,18X0a pour solution générale , la fonction définie sur0; x0(t)C e0,18t, où C est une constante réelle. ·Soitx1 (E), on aune solution particulière constante de l'équation différentiellex10et : x10,18x112 0,18x112x1320018,012, d’où :x1(t)0023 ·La solution générale de (E) est donc définie sur0;par :X(t)C e0,18t#3020 1 ·x(0) 100C0130200C100001002 0,X(t)10013e0,18t#0023
Par conséquent, pour toutt
Partie C.0 1.N(t100)e0 18t200 , 3 3 Pour tout réel positif t,N(t,810130)0e0,18t6e0,18t.100 On sait quee0,18t0: la fonction dérivée est strictement positive, N est strictement croissante 2.N(0) 100etN(42) 64000
Partie D. Pour t élément de[42;72], on a :F(t) 64000e0,043(t42)et F(t) 0,0043 64000e0,043(t42)2752e0,043(t42).On sait que :e0,0043(t42)0 La fonction dérivée étant strictement négative, F est strictement décroissante sur[42;72]. F(42) 64000etF(72) 17600
33616.doc
F
42
64000
12,164
72
17617
par :
42
200/3
Graphiquement, la population devient inférieure à 32000 individus au bout de58 moisenviron.
5
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