Mathématiques 2 2004 Classe Prepa MP Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

Publié par

Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Mathématiques 2 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2 2004 sur Bankexam.fr.
Publié le : mardi 27 février 2007
Lecture(s) : 26
Tags :
Nombre de pages : 4
Voir plus Voir moins
SESSION 2004
CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES ´ ´` EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP
´ MATHEMATIQUES 2
Dur´ee:4heures
Les calculatricessont interdites. * * * NB:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclart´e,`alapre´cisioneta`laconcisiondela re´daction. Siuncandidatestamene´a`rep´erercequipeutluisemblereˆtreuneerreurd´enonce´,illesignalerasur sacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquila´ete´amene´ `aprendre. Fonctions de matrices Notations : 1. LesR:ssteanivsuesbr`egla-exteecetursdaucoe´se´drenoisnoct Ialg`LebreMn(Reer´es´eordesllerdamrtd)seacrrcisen. ISiIest un intervalle deRnoonte,din´treeiruonvndi,eCal`selgcerbummoitatedev I fonctions de classeCdeIdansR. Itcnofsederbe`glaesalminolyponsioedLIdansRerbela``glaseutusleenti´eelementidR[X]. 2. Ony rencontre aussi lesR-espaces vectoriels suivants : Ienrslonoel`se´leLesdescpaceanliesgnt´noeMn,1(R). IL’espaceRN[X] ={PR[X]|degP6N},`ouNN. 3. Lesnotions de convergence dansMn,1(R) etMn(R) sont relatives aux normes respectives : t IkXk= max|xk|, siX= [x1, . . ., xn]. 16k6n IkMk=nmax|mi,j|, siM= [mi,j]16i6n. 16i,j6n 16j6n
Objectifsduprobl`eme LorsquePR[X] etAMn(Rnerutdonnsai),oirecmata`slasnneP(A) et l’on maˆıtrise bien le calcul polynomial surAucitreilis,qiuenr´esulte.EnparMest une matrice deMn(R), on appelle polynˆomeminimaldeMemoˆnyloeriatinulepPsbluepdl´qetgerdeuaesP(Mtaimitsde´m=0)le;i n (etonladmettra)quilsagitdupolynˆomeminimaldelendomorphismeudeRdontMest la matrice n dans la base canonique deR. Dansunpremiertemps,cetexteproposededonnerunsens`alamatricef(A)pour toute fonction fde classeChypotdessescth`eecal,tennnaomeyrlamessunablonveectairA. Autrementdit,onapprend`amaıˆtriseruncertaincalculfonctionnelsurA. Dansunsecondtemps,onexploitecesre´sultatspourr´esoudreunsyst`emedi´erentielline´aire.
1
Notationsxe´espourtoutleprobl`eme: IernumetairecOnconsid`eAdeMn(R) et l’onsupposeeuqpnosnyloemoˆamΠliminAˆttepuecritre´e m1mr ´ sous la forme : ΠA(X) = (Xλ1). . .(Xλr:) avecr>1 ;lesλjsont desreelsdistincts ; P lesmjsont dansN. On note alorsm=mjlΠeedr´egedA. 16j6r IsiuneausrvalintecnOelre`disnoIdeRd,e´iritnrneuvionetdentconaneuottselsλj. La matriceAet l’intervalleIrudsuaoc´tsertiame.bl`euprolsnadse´siraluciesplemexrsvediesostnaptr Pr´eliminaires: ´ 1.Etablir que pourXdansMn,1(R) etMdansMn(R), on a :kM Xk6kMk kXk. ∞ ∞ 2.SoitMun sous-espace vectoriel de dimensiond>1 deMn(R), et soitβ= (B1, . . ., Bd) une base deM. a)rtreMnoemroneunitn´endoelquNsurMen posantN(M) =max|xk|, si 16k6d P M=xkBknettisideon´eleml´ealtsce´dopmoMdeMsur la baseβ. 16k6d b)Justlexierel´esrteictrssledecnetsinatsnocetisisvemetepontaetbtna:vire´ M∈ M, akMk6N(M)6bkMk. P c)Soit (Mp)pNeneml´´edteuiesnuedstM; on noteMp=xp(k)Bklad´itnoopiscemo 16k6d deMpsurβ. Montrer que la suite (Mp)pNconverge vers 0 dans (Mn(R),k∙k) si et seulement siuseuqahcel´eeritle(xp(k)) (k= 1, . . ., d) converge vers 0. pN IUnerelationde´quivalencesurC I On convient de dire que des fonctionsfetgdeC«co¨ıncident sur le spectre deA»lorsque : I (k) (k) j∈ {1, . . ., r},k∈ {0, . . ., mj1}, f(λj) =g(λjnioatemuse´rntonalrap).eloCequf=g. A 20 0 Un exemple : si ΠA(X) =X(Xla notation+ 1)f=gsignifie :f(0) =g(0),f(0) =g(0) et A f(1) =g(1) ∗ ∞(k) 3.Soient`dansN,λdansIetfdansC´eriv:atnf(λ) = 0 pourk= 0,1,2, . . ., `1. I Z x `1 (xu) (`) ´ a)entit´e:rilbdilatExI, f(x) =f(u) du. (`1)! λ b)cnetudeofenitcnoncnahdeunedtgnmeiablevarexise,lEirdu´endidaale`hvri´enta: ` (1)xI, f(x) = (xλ)h(x) (2)hC I 4.SoientfetgdansC. I a)On suppose :hC ,f=g+hΠA. I Enconsid´erantlesde´rive´essuccessivesdefg,´eulirqetabf=g. A b)On supposef=g; en exploitant le3.justifier l’existence dehdansCanit:erv´ I A f=g+hΠA. 5.SoientPetQdansR[Xt´onssteanivsuns:setnelaviuqerouv];ptioiocdnlesereuq (1)P=Q A (2)HR[X], P=Q+HΠA. IID´enitiondelamatricef(A) m A.Onconsid`erecilppalnoitaϕdeRm1[X] versRˆomeuiqic`esaoslonyuapnPlem-uplet :      (k1) (kr) ϕ(P) =P(λ1)P, . . .,(λr) . 06k16m11 06kr6mr1 2
´ 6.acartce`atlbrieldeifEbirectjeϕ. 7.SoitfdansC; jus IelreitecnetsixdetundpoulseunmoeylˆnPfdeR[Xru,]gr´ededeerieinf´ ´ oue´gala`(m1) et tel que :f=Pf. On convient alors dedefinirla matricef(A) en posant : A f(A) =Pf(A). B. Quelques exemples N P k 8.On suppose ici quefeealotllypominoetsce´n:tirxI, f(x) =akx. k=0 Eneectuantunedivisioneuclidienne,montrerquaveclade´nitiondelaquestion7, on obtient N P k lere´sultatnaturel:f(A) =akA. k=0   54 9.Ici:A=M2(R) etI=R. 43 a)Calculer ΠA(X). b)Calculer la matricef(A) dans chacun des cas suivants : (1)f(x) =ax+blessr´e,leaetb´dtnotena.esn´ (2)f(x() = sinπx) 2(3)f(x) = (x1)g(xalu`cnofontio,)gnndoed´enassteC. I
III-Lecalculsyste´matiquedef(A) A.Uneformulege´n´erale 10.iosnaltoltienpx´eaielinhismmorpreEϕduII.Aunicit´edepolynoˆemsju,istlresixecnetltee Qj,k(16j6r,06k6mj1:tnari´e)v P P (k) pourtoutefonctionfdeC, on a :Pf=f(λj)Qj,k I 16j6r06k6mj1 Onconsid`erealorslesmatricesdites«aseei´ocss»`aA: Zj,k=Qj,k(A) (16j6r,06k6mj1). 11.Montrer que les diverses matricesZj,kpeneni´dseteadtnin´eontlmentairese:qu P P (k) fCI, f(A) =f(λj)Zj,k. 16j6r06k6mj1 B. Deux exemples   54 12.Ici:A= etI=R. + 43 a)Justifier l’existence de matricesZ1etZ2deM2(R) telles que : ∞ 0 fC ,f(A) =f(1)Z1+f(1)Z2. I b)de´deriunEle calcul deZ1etZ2. 2004αc)Calculer les matricesA,Aeng´usplmelera´etentApourαdansR. +   11 1   13.Ici:A= 22 1M3(R) etI=R. 11 0 a)´ePrntseosreofsufemrotcaris´eelepolynˆomΠeA(X). La matriceAest-elle diagonalisable dansM3(R) ? b)Calculer les matricesZj,k«seei´assco»`aA.
IV Uncalcul fonctionnel sur la matriceA A.Quelquesidentit´esbiennaturelles
3
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.