Mathématiques 2000 Classe Prepa HEC (ECS) EM Lyon

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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2000 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2000

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

Programme ESC d’E.M.LYON CONCOURS D’ENTREE 2000

MATHEMATIQUES 1e`ree´preuve(optionscientifique)

Lescandidatsnedoiventpasfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradue´eestautoris´ee.

Proble`me1 Notations: –n´d.a3´preeiruuoe´ag`lesigneunentiersu –M n (Redelbmesecirtamsenl’st)er´eescarrdresd’oneocffi`carse´eitn.sleI n ntde´eittrmaeiicgisealen´d t deM n (Ree´tontseMenematricos´eed’uaLrtnaps.)M. n –Ruiodprdunimustet´euenonoqicenaalristac< , >seifinipard:´x= (x 1 ,x 2 ,...,x n ) et y = n P (y 1 ,y 2 ,...,y n ) alors,< x,y >=x k y k . k=1    x 1 y 1    notant les matrices unicolonnesX= eten confondant les matrices En  .  etY=  .  x n y n t d’ordre 1 et les scalaires, on a alors< x,y >=XY.eetsee´tonLaco´ieea`onmraesstscalairceprodui k.k. n –B= (e 1 ,e 2 ,...,e n edeuqinoelgn)sdi´eanecasabR. n On rappelle que la matrice de passagePd’une base orthonormale deRnua`tuaeaberseorthonormale n t−1 deR´vrefiieP=P. LespartiesIetIIsontind´ependantes.

Partie I. 1.Onconsid`erelesmatricessuivantesdeM 3 (R) :   √ √  5 2 2 3 12 1 √ √    S 5 2= 2 , P= √ − 3 12 √ 6 2 2 5 0−2 2 (a) JustifierqueSest diagonalisable dansM 3 (R). t (b) Montrerqu’il existe une matrice diagonaleDdeM 3 (R) telle queS=P DP.   2 1 0   2.Onconside`relamatriceM= 021 deM 3 (R). 1 0 2 3 (a)V´erifierque(M−2I 3 ) =I 3 . (b)Mest-elle diagonalisable dansM 3 (R)? t (c) Calculerle produitM M. 1

Partie II. n Soit A une matrice deM n (R). On note f l’endomorphisme deRassoci´e`alamatirecAaalt`rletavimene n t baseBetgl’endomorphisme deRci´eassomatr`alacieAela`tsabarlemenetaviB. 2 n 1. Montrer,pour toutxet toutydeR:< g(y),x >=< y,f(x)>puis<(g◦f)(x),x >=kf(x)k. 2. Montrerque l’endomorphismeg◦fique.´etrtsymes 3. Montrerqueg◦fest diagonalisable et que ses valeurs propres sont positives ou nulles. 0 00 0n 4. Justifierl’existence d’une base orthonormaleB= (e ,e ,...,e) deReveceesditu´onstcserporpsruet 1 2n deg◦f. 0 On noteQla matrice de passage de la baseBbase`alaB. 5. Montrerl’existence dennlusoeuefssiptoir´lsλ 1 ,λ 2 ,...,λ n emensairtinctdisleqsstt)eualn(sece´nno   µ0∙ ∙ ∙0 1 . . 0µ . . 2 t2t matrice diagonale Δ =  deM n (R:efiire´)vAA=QΔQ. . .  . .  .0 . . 0∙ ∙ ∙0µ n 0 00 6. Montrerque la famille (f(e),f(e),...,f(e)) est une famille orthogonale et que pour tout entierjde 1 2n 0  {1,2,...,n},f(e) =λ j . j 7. Danscette question, on suppose queAest inversible. (a)Ve´rifierquelesnombresr´eelsλ 1 ,λ 2 ,...,λ n sont tous non nuls.   1 11 n (b) Montrerque la familleC=f(e 1 ), f(e 2 ),..., f(e n une base orthonormale de) estR. µ µµ 1 2n t (c) SoitRla matrice de passage de la baseBesabala`C. Montrer queA=RΔQ.

Partie III. D´eterminerdeuxmatricesorthogonalesQetRd’ordre 3 et une matrice diagonale Δ d’ordre 3 telles que: t M=RΔQou`Mnadeessfieinec´dtairltmaI.2.

Proble`me2 Danstoutceproble`me,aseutrne´eltelque0< a <1.

Calculd’unesommeetd’uneint´egrale. n P × 1. Pourtout n deNet toutxde [0,+∞], on note:C n (x) =cos(kx). k=1 n P ×ikx (a) Montrer,pour toutndeNet toutxde [0,+∞]: 1+ 2C n (x) =e. k=−n 2n+1 n P 1−z k−n (b) Etablir,pour tout nombre complexeztel quez6:= 1z=z. k=−n 1−z   1 sinn+x 1 2 × (c)Ende´duire,pourtoutndeNet toutxde ]0,+∞+] :C n (x) =   x 2 2 sin 2   1 sin n+x π R 2 × 2. SoitndansNtronquer’ieeJla´legnrtM. n =   dxexiste et calculer sa valeur. x 2 sin 0 2   0 six= 0  cos(ax)−1 On noteω: [0,+∞]→Rl’plapr:nfie´apeitacidnoiω(x) = six∈]0,+∞]  x  sin( ) 2 2

10 3. Montrerqueωest de classeCsur [0,+∞] et calculerω(0).   π R 1 × 4. Onnote, pour toutndeN:I n =ϕ(x) sinn+x dx. 0 2 Montrer,graˆce`auneint´egrationparparties,queI n tend vers 0 quand l’entierntend vers l’infini.

Calculdelasommed’unese´rie. π R × On note, pour n∈N:u n = cos(ax) cos(nx)dx. 0 n P sin(aπ) 1 × 1. Montrer,pour toutn∈N:u k =−+I n +J n . k=1 2a2 P 2.End´eduirequelase´rieu n atsdeleerisilltsu´esrno(emmostuarruopetcarge,ersalculnoevcI.2.et n>1 I.4.). × 3. Calculer,pour toutn∈N,u n en fonction deaet den. n−1 +∞ P 2(−1)a π1 4. Etablir: =−. n=1 n−a sin(aπ)a Calculd’uneinte´grale. Dans cette partie,αuqe´digesunneeer´elltα >1. +∞ R dt 1.Justifierl’existencedel’inte´grale. α 1 +t 0 +∞1 +∞ R dt R dt R dt On note:F(α) =,G(α) =,H(α) =. α αα 0 1 +t 0 1 +t 1 1 +t 2. (n+1)α n 1 P t k kαn+1 (a)Montrer,pourtoutr´eeltde [0,1] et toutndeN: =(−1)t+ (−1) . α α 1 +t k=0 1 +t 1 (n+1)α R t (b) Montrerquedttend vers 0 lorsque l’entierntend vers l’infini. α 1 +t 0 k k +∞ P (−1) P (−1) (c)Ende´duirequelas´erieconvergeetque:G(α) = 1 +kα1 +kα k>0k=0 3. 1−α (a)Enutilisantlechangementdevariablede´finiparu=t, montrer:   1α H(α) =G , α−1α−1 etend´eduire +∞ n−1 X (−1) H(α) = nα−1 n=1 n−1 +∞ P 2(−1) (b) Etablir:F(α) = 1 +. n=1 nα−1 π α 4.Enutilisantler´esultatdeIIatlb,.e´lamerinfient:.4F(α) =   . π sin α

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