Mathématiques 2000 Classe Prepa HEC (STG) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2000 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 18 mars 2007
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ECRI COME Banqued´epreuvescommunes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esmarseille /ic nancy/ esc reims/ esrouen /esc toulouse
CONCOURS D’ADMISSION
option technologique ´ MATHEMATIQUES Anne´e2000
Aucuninstrumentdecalculnestautoris´e. Aucundocumentnestautoris´e.
Le´nonce´comporte3pages
Lescandidatssontinvit´es`asoignerlapre´sentationdeleurcopie,a`mettreene´videncelesprincipaux r´esultats,a`respecterlesnotationsdele´nonce´,et`adonnerdesde´monstrationscompl`etes(maisbre`ves) de leurs affirmations.
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Exercice 1 Onconsid`erelesmatrices     1 0 00 1 00 0 0     I= 01 0, Aet0 1= 0O0 0= 0 0 0 10 0 00 0 0 Atoutnombrer´eelxonassocielamatrice 2 x 2 M(x) =I+x.A+.A 2 2 3n 1. CalculerAetA,eriude´tuotruoperentindteen >3, la valeur deA. 2. Calculeren utilisant (1) le produitM(x)M(y) et montrer que M(x)M(y) =M(x+y) n 3. Montrerque pour tout entier positifn: (M(x)) =M(nx). reconnaˆıtreM(0). n 4. Ecrireles matriceM(x) et (M(x)) sousforme de tableaux. 5.Justierlinversibilit´edelamatriceM(x)assnca`aullcercherchesre.osrevnin 6.D´eterminerlinversedeM(x) en n’utilisant que la relation (2)   1 4 8  ´ 1n 7. SoitBEcrire sous forme de tableaux les matrices1 4 .= 0BetB. 0 0 1 1 8. Retrouverla valeur deBudedohte.toviptilienulam´sant
(1)
(2)
Exercice 2 1.D´eterminerlafonctiondere´partitiondunevariableal´eatoireYsuivant la loi uniforme sur [0,1]. Troispersonnesontconvenudeseretrouvera`lagarepouremprunterlemeˆmetraindebanlieue. Loriginedestempsestprise`a17hetlunite´detempsestlheure. Pourkraetappa`antn{1,2,3},onignedpa´resYkoerm´nunedareurelhsrnoalepeeedir´vk. On suppose que les trois variablesYkunoiorifenivaltlusem0[rsontintnseteus´dpenead,1] (ce qui signifie que les trois personnes arrivent au hasard entre 17 h et 18 h).
2. On noteXtnatehlderurra´eiveledalvaraailbae´leatoirerepr´esenerd`erneipersonne (qui n’est pas force´mentlapersonnenum´ero3!). (a) Soitturn0[aenrtt`anel´epaap,1]. Exprimerl´ev´enement(X6toidnsee´e)fnnotcnemene´v(stY16t),(Y26t),(Y36t). (b)End´eduirelafonctionder´epartitiondeXque l’on noteraG. (c)D´eterminerunedensit´edeXdeetlesp´eranceX. 3.Lespersonnespeuventempruntertroistrainsa`17h20,17h40et18h(cequicorrespond,danslerep`ere 1 2 de temps choisi, aux instants,et 1). 3 3 `eme Pourjraetantn`aapp{1,2,3}on appelleEjelentnrpnennsespoisoerlt:tresne´vnemee´ljtrain ”. Exprimerle´ve´nementEjblial´eatoeaeiraraveledidaal`Xobabilit´e.siupclacrelurpas 4.Onde´signeparAomedretnl´ventmene´eemprLa:repere`irraennoseattiv´eoinsendmimuned02avtnetas dans le train avec ses amis. (a)Exprimerles´ev´enementsAE1,AE2,AE3en fonction des variablesY1,Y2,Y3. (b)De´termineralorslaprobabilit´edeA.
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Exercice 3 Onconside`relafonctionfd´eniepar:f(x2) =lnx 1. 2 (a)Montrerqueledomainedede´nitiondefest l’intervalle ]0,e]. (b)De´terminerleslimitesdefaux bornes de ce domaine. ´ 2.Etudierlesvariationsdefettracersacourberepr´esentative. 3. Montrerque l’image par f de l’intervalle [1,e] est contenue dans l’intervalle [1,e]. 4.Montrerquele´quationf(x) =xadmet une solution unique a sur l’intervalle [1,e]. 2 (Onpourrae´tudierlafonctionauxiliairegde´niepar:g(x) =x+ ln(x)2). 5.Commentobtenirgraphiquementunvaleurapproch´eedeau2ea)?trbe´eacedalocruamuyone 6.Onconside`relasuited´enieparr´ecurrencepourtoutentiernaturelnpar : u0= 1 etun+1=f(un). (a)Montrera`laidedelin´egalite´sdesaccroissementsnisque: 1 |un+1a|6|una| 2 (b)De´terminerunentierntel que 3 |una|610 (c) Quelleest la limite de la suite (un) quand n tend vers +? FIN DE L’EPREUVE
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