Mathématiques 2000 Concours FESIC

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Concours du Supérieur Concours FESIC. Sujet de Mathématiques 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2000 sur Bankexam.fr.
Publié le : vendredi 25 juillet 2008
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Concours d’entr´ee FESIC
1. Soit f lafonctiond´efiniepar:
1 1
f(x)=− x+1+ .
3 |x|+1
Dsonensembleded´efinitionet C sacourberepr´esentative.
∗VraiFaux On a: D=R .
1
VraiFauxLadroite∆d’´equation y=− x+1estasymptote`aC.
3
VraiFauxLacourbe C estau-dessusde.
1 1
VraiFauxPourtoutx>−1,ona: f(x)= − .
2(x+1) 3
2.Soit f lafonctiond´efiniepar:
1 √
f(x)= − x.
x−1
VraiFauxLarestrictionde f `al’intervalle[0;1[estunebijectionde[0;
1[sur −1;+∞[.
VraiFauxLarestrictiondef`al’intervalle]1; +∞[admetuner´eciproque
d´efiniesurRet`avaleursdans]1; +∞[.
1
Vrai Faux L’´equation1+ √ =xadmetuneuniquesolution.
x
Vrai Faux Pour touta<0, l’´equation f(x)=a admet deux solutions
distinctes.
3.Soitflafonctiond´efiniesurRparf(x)=xsinx,Csacourberepr´esentative
et ladroited’´equation y=x.
VraiFauxLafonction f v´erifiel’´equationdiff´erentielle y +y=2cosx.
VraiFauxLacourbeCetladroite ontuneinfinit´edepointscommuns.
VraiFauxLadroite esttangente`a C enchacundeleurspointscom-
muns.
VraiFauxLadroite∆ d’´equation y=−xesttangente`aC.
4.Soit f lafonctiond´efiniepar



∆Concours FESIC 2
f(x)=ln(ln|x|),
Dsonensembleded´efinitionet C sacourberepr´esentative.
∗VraiFaux On a D=R .
1
VraiFauxPourtout x∈D,ona:f(x)= .
|x|ln|x|
Vrai Faux Une ´equation de la tangente `a C au point d’abscisse e est
x−e
y= .
e
VraiFauxPourtousr´eels aet bv´erifiantb>a e,ona:
f(b)−f(a) 1
> .
b−a e
5. Pourentier naturel, n 1,onconsid`erela fonction f d´efiniesur I =n
]−1;+∞[par
nf (x)=x ln(1+x).n
etond´esignepar C lacourberepr´esentativede f .n n
VraiFauxPourtoutn 1,lacourbeC passeparlepointdecoordonn´eesn
(1; ln2).
VraiFauxPourtoutn 1etpourtoutx∈[0; 1],onaf (x) f (x).n+1 n
VraiFauxPourtout n 1,ona f (x)=0.n
Pourtout n 1,ond´esignepar a lecoefficientdirecteurdelatangenten
`aC aupointd’abscisse1.n
Vrai Faux La suite (a ) estg´eom´etrique.n n 1
6.Pourtoutr´eel m,onconsid`erel’´equation(E )suivante,d’inconnuer´eellem
x:
2x xe −2e −m=0.
Vrai Faux L’unique valeur de m pour laquelle x=0estsolutionde
l’´equation(E )estm=0.m
VraiFauxPourtoutevaleurde m,l’´equation(E )admetaumoinsunem
solution.
VraiFauxSi −1<m<0,l’´equation(E )adeuxsolutionspositives.m
VraiFauxSim>0,l’´equation(E )auneuniquesolution.mConcours FESIC 3
7.Onconsidere` l’´equation(E)suivante:

sinx= 3cos2x.
Vrai Faux L’´equation(E)est´equivalente`al’´equation
√ √
2(E) 3sin x+sinx− 3=0.
Vrai Faux L’´equation(E)admetquatresolutionsdansR.
VraiFauxL’´equation(E)admetdeuxsolutionsdansl’intervalle[−π; π].
VraiFauxL’´(E)admetdeuxdansl’intervalle[−π;0],
22π
dontleproduitvaut .
9
x√
−t8.Soit F lafonctiond´efiniesurI=[0; +∞[parF(x)= te dt.
0
(Onnechercherapas`acalculerdirectement F.)
VraiFauxLafonction F estpositiveetstrictementcroissantesurI.
√ 1
VraiFauxPourtout t 0,ona: t t+ .
4
x 1 5 5
−t −xVraiFaux On a: t+ e dt= − x+ e .
0 4 4 4
5
VraiFauxPourtout x∈I,ona: F(x) .
4
x ln(2t)
9.Pour,onpose: F(x)= dt.
21 t
ln(2x)
VraiFauxPourtoutx>0,ona: F(x)= −ln2.
2x
1
VraiFauxPourtout x∈ ;1,onaF(x)<0.
2
ln(2x) 1
VraiFauxPourtoutx>0,ona: F(x)=− − +ln(2)+1.
x x
VraiFauxOna: lim F(x)=ln(2)+1.
x→+∞
1 1
2 210.Onpose:I= tcos (πt)dtetJ= tsin (πt)dt.
0 0
VraiFaux On a: I >0etJ>0.
VraiFauxOnaI+J=1.
1
VraiFaux On a: I −J= tcos(2πt)dt.
0Concours FESIC 4
1
VraiFaux On a: I=J= .
2
11.Soit(a ) et(b ) deuxsuitesr´eellesd´efiniesparleurpremiertermen nn∈N n∈N
a =2,b=4,respectivementetlesrelations,pourtoutentiernaturel n,0 0
1 1
a = (a +3b)etb = (3a +b ).n+1 n n n+1 n n
4 4
Ond esigne´ par A et B les points de l’axe orient´e d’abscisse a et bn n n n
respectivement.
Vrai Faux La suite u =a +b estconstante.n n n
Vrai Faux La suite v =a −b estunesuiteg´eom´etriqueconvergente.n n n
VraiFauxPourtout n ∈ N, les segments [A B]ontlemˆememilieu I,n n
quiestlepointde(Ox)d’abscisse3.
1 1
VraiFauxPourtout n∈N,ona:a =3− et b =3+ .n nn n2 2
1
12. Soit (u ) une suite g´eom´etrique de raison et de premier termen n∈N 3
u =2.1
Pourtoutentier n 1,onpose v =ln(u ).n n
2
VraiFauxPourtout n 1,ona u = .n n3
Vrai Faux La suite (v ) ,estarithm´etique,deraison −ln(3).n n∈N
VraiFauxPourtout n 1,ona:
n 1
u =u +u +···+u =3 1− .k 1 2 n n+13
k=1
VraiFauxPourtout n 1,ona:
n1 1 n
v = (v +v +···+v)=ln(2)− ln(3).k 1 2 n
n n 2
k=1
iθ13.Pourtoutr´eel θ∈[0; 2π[,onpose Z(θ)=1+e.
Ona:
π π
i
3Vrai Faux Z =e .
3
VraiFauxpourtout θ∈[0; 2π[, Z(θ)=Z(−θ).
θ θi
2VraiFauxpourtout θ∈[0; 2π[, Z(θ)=2cos e .
2Concours FESIC 5
θ
VraiFauxpourtout θ∈[0; 2π[,arg[Z(θ)]= [2π].
2
14.Soit(E)l’´equationd’inconnuecomplexe z:
2z −4z−5=0.
VraiFauxSi z estsolutionde(E),alors z estaussisolution.0 0
Vrai Faux L’´equation(E)admetunesolutionimaginairepure.
Vrai Faux L’´(E)admetdeuxsolutionsr´eelles.
Vrai Faux L’´equation(E)admetexactementdeuxsolutionsdansC.
1
15.Soit a∈ ;eet(E)l’´equationd’inconnuecomplexe z:
e
2z −2zln(a)+1=0.
Ondesigne´ par M et N lespointsduplandontlesaffixessontlesracines
de(E).
VraiFauxLespoints M et N sontsym´etriquesparrapport`al’axer´eel
(Ox).
VraiFauxLespoints M et N sontsitu´essurlecercledecentreOetde
rayon1.
VraiFauxIln’existeaucunevaleurdeatellequeMetNsoientsym´etriques
parrapport`al’origine.
SoitAlepointduplandecoordonn´ees(−1;0).
VraiFaux On a: AM<2.
16.Pour nentiernaturelnonnul,onnote(C )lacourbeparam´etr´eepar:n
x(t)=sin(t)
,
y(tcos(nt)
autrementdit,l’ensembledespointsM(t)decoordonn´ees(sin(t), cos(nt)),
pour t∈R.
VraiFauxLacourbe(C )estuncercle.1
2VraiFauxLacourbe(C )estlaparaboled’´equation y=1−2x .2
VraiFauxPourtout n 1,l’axe(Oy)estaxedesym´etriepour(C ).n
Vrai Faux Pour tout n 1, (C ) admet au point M(0) une tangenten
parall`ele`al’axe(Oy).Concours FESIC 6
17.Pour m∈R,onconsid`erelesyst`emelin´eairesuivant,`aquatreinconnues
a, b, c, d:
a+b−c+2d =2
2a+4b−6c+2d =0
Sm
−a+b−3c−9d = −1
a−2b+5c+13d = m+2
Vrai FauxPour m = −2, le syst`eme S admet un unique quadrupletm
solution.
VraiFauxPourm=−2,lesyst`emeS admetuneinfinit´edequadruplets
−2
solution,quisontdelaforme:(7−k;2k−3;k−1)ou` k∈R.
VraiFauxDansl’espace,l’ensembledespointsdecoordonn´ees:
x =7−k
y =2 k−3 o`u kd´ecritR,estunplan.
z = k
VraiFauxDansl’espace, l’ensembledespointsdecoordonn´ees(x, y, z)
tellesque x=7−zestunedroite.
18.Dansleplan,onconsid`ereuntriangle(ABC)etonnote:
Glebarycentredusyst`eme {(A,3),(B,1),(C,1)};
Qlebarycentredusyst`eme {(A,3),(C,1)};
Rlebarycentredusyst`eme {(A,3),(B,1)};
Plemilieudusegment[BC] ;
VraiFauxLesdroites(CR)et(BQ)sonts´ecantesenG.
VraiFauxLepointGappartient`aladroiteAP.
VraiFauxLepointGestl’imagedupointAparl’homoth´etiedecentre
1
Petderapport .
5
On suppose que les points B et C sont fixes et que le point A d´ecrit
π
−−→ −−→
l’ensemble Edespointsduplantelsque: MB, MC = [2π].
2
Vrai Faux L’ensemble E d´ecritpar Glorsque A d´ecrit E est unedroite
parall`ele`a(BC).
19. Un auto-radio est muni d’un code de s´ecurit´econstitu´ede4chiffres:
chacundeceschiffresestcomprisentre0et9;seullepremiernepeutpasˆetre
nul.Lorsquelepostea´et´eenlev´edesonemplacement dansl’automobileil
faut,pourler´einstaller,composerlecodedes´ecurit´e.LorsquelepremiercodeConcours FESIC 7
compos´eest inexact, il faut attendre deux minutes pour pouvoir composer
un nouveau code. Si celui-ci est inexact, il faut `a nouveau attendre quatre
minutespourcomposerlecodesuivantetainsidesuite,letempsd’attente
´etantmultipli´epardeux`achaquefois.
Onadmetquel’onpeutrenouvelerl’op´erationautantdefoisquel’onveut
etonn´eglige`achaquefoisletempsmispourcomposerlecode.
VraiFauxEn24heures,onaletempsdefaireaumaximum10essais.
On suppose que l’on compose les codes au hasard, sans r´ep´etition,jusqu’`a
obtentionducodecorrect.
VraiFauxLaprobabilit´epourquelecodenesoitexactqu’auquatri`eme
1
essaiest .
8997
VraiFauxLa probabilit´epour que le codecorrect soit trouv´eenmoins
1
de24heuresest .
900
VraiFauxLaprobabilit´epourquelecodecorrectsoittrouv´eaucoursdu
1
deuxi`emejourest .
8990
20.Onlanceunde´dontlessixfaces,num´erot´eesde1`a6,sont´equiprobables.
Si le r´esultat est un nombre pair, on tire au hasard une boule d’une urne
U contenant deux boules blanches et trois boules noires. Si le r´esultat est
impair, ontireau hasard unebouled’une urneV qui contienttroisboules
blanchesetdeuxboulesnoires.
Ondesigne´ par:
Bl’´ev`enement tirerunebouleblanche ;
Nl’´ev`t tireruneboulenoire ;
Ul’´ev`enement tirerunebouledansl’urne .
Ona:
Vrai Faux p(B∩U)=p(N∩U).
1
Vrai Faux p(B)= .
2
Vrai Faux p(B)=p(N).
Vrai Faux p(U/B)=p U/N .
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