Mathématiques 2001 Classe Prepa HEC (S) Concours Ecricome

Publié par

Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 18 mars 2007
Lecture(s) : 164
Tags :
Nombre de pages : 4
Voir plus Voir moins
Ecricome 2001, option scientifique.
EXERCICE 1 Soientaetbmentictetifsposi,drxuelee´rtssXetYdueailbvxraat´eales´esdreoirusseinemeˆmnu espaceprobabilis´e,ind´ependantes,suivantchacuneuneloiexponentielledeparam`etresrespectifs aetb. 1),e´talediravelban,ioispuedunsienal´eatoirenofalrenimrete´Ditrtpa´eerndioctX. 2)Montrer queYXee´daemnsdenetuot,n´eithe´d,rapeinab ab bt at h(t) =e pourt >0 eth(te pour) =t0 a+b a+b Onconsid`erelavariableale´atoireZ=|XY|. asbs be +ae 3)Soits:´eitaleg´lrilbatE.fitisopunr´eelP(Zs) = 1. a+b 4)a)Montrer queZenet´eitunernndo´tisnede.etuneesablevaritaiolae´edsnera` b)Montrer queZlecur.admetuneepse´arcneeltcala
EXERCICE 2 Soientnun entier2 etEerdrodsee´rraceotcaveepslcescatridesmrieln`.sel´esrntiecoeac t Iamrtciieetsaldedentit´eE. On noteApsnae´sortalme´entuedeln´AdeE. SiA= (ai,j) appartient`aE, on appelle trace deAet on note tr(A), la sommea1,1+a2,2+∙ ∙ ∙+an,ndes e´le´mentsdiagonauxdeA. Onconsid`erelapplicationgdeE×EdansRriatxmeuadi`qu,ecsAetBdeEfait correspondre t ler´eelg(A, B) = tr(AB). 1)ementdetout´el´tnqriua`lpcitaoiuerqaplMorentEatrace,eassociesemil´naetsnuferoeir surE. t 2)a)SoitMune matrice deE. Montrer que tr(M) = tr(M). b)couttourpoe,quredeiunE´d(elpuA, B) de matrices deE, on ag(A, B) =g(B, A). 3)SoitAle´neme´edtnuE. Montrer queg(A, Amoemltsara´redcsscoeesdentsdcieees)A. 4)eteenqus,´epredc´noM(a`,rertsqdedeainsiostuegest un produit scalaire surE. n n SoitB= (e1, e2, . . . , en) la base canonique deRetfl’endomorphisme deRnipad´e:r f(e1) =enet, pour tout entierktel que 2kn, f(ek) =ek1 n 5)a)Montrer quefest un automorphisme deR. n1 t b)SoitUla matrice defdans la baseB. Montrer queU=Iet queU=U. On suppose, pour les deux questions suivantes, quen= 4. 2 32 3 6)CalculerUetUet montrer que (, UI, U, U) est une famille orthogonale pour le produit scalaireg. 2 3 7)On noteFle sous espace vectoriel deEee´rdnegnamafrlpa(leil, UI, U, U) etVla matrice deEre`igileseennoctitsteeu´1edeestldontlapremalreluclaC.0edntmeueiqunestrau projection orthogonaleWdeVsurF.
` PROBLEME
Danstoutleproble`me,nest un entier positif ou nul,arieuup´eegalrou´entnuiasreiprte4a`p n1 unre´eltelque0< p <ec1s´turiiimrpslloeue.rPes,seropnoan= 2a. Unjeuestunesuccessiondejetsdunepie`cequifaitpileaveclaprobabilit´ep. Un joueur dispose initialement d’une fortunea. On noteFna`rueuojeussilavliaarlbae´laeotri´egeale`alafortunedu dunivnecnnoqteume`e-i.OernclaF0asela`eea´reigattalianvle´ceerabtloeiara. On obtient la fortuneFn+1ap`edritraFnnamaledvante:i`eresui avant le lancernle joueur mise une partie+ 1,Xn`itn,eree,,elauleetartitrepoftredasruipnuse FnXn, sur face. Si le lancernfait apparaˆıtre pile, la fortune+ 1Fn+1ge´t`ela2aesXn, s’il fait apparaˆıtre face, la fortuneFn+1(2a`elage´tseFnXn`atonsi,).Aioftr,taltsnatuniedunu joueurestunentierpair,´eventuellementnul. One´tudie,dansceproble`me,deuxexemples(parties1et2)danslesquelslesmisesXn, sont desairaselbe´laiotasrevsscoeiuavxraailbesal´eatoires.etAcetena,oFnseopylˆnmosedGn dontlespropri´et´esge´ne´ralessont´etabliesenpre´liminaire.Cespolynˆomesservent`aobtenirdes informationssurl´evolutiondelafortunedujoueurtoutaulongdujeu. E(X) etV(Xeednciaar,tnenauqe´d)ngisnt,listeesexdellltvacneee´arepsX.
R´esultatspre´liminaires. 1)Pour tout entier positif ou nuln, montrer queFnprend ses valeurs dans{0,2,4, . . . ,2an}. an X k Pour tout entier positif ou nulnitle´ennˆompolyo,ednGnpar :Gn(x) =P(Fn= 2k)x. k=0 2)a)CalculerGn(1). b)´rseneetuQrepetenemetr`nccoGnauqlets,eibilorabentprgumunaidedala`,rertnoM?)0( suitedetermege´n´eralGn(0) est croissante et convergente. E(Fn) 0 002 c)Montrer queGe()1=.EtablirdemˆemequV(Fn) = 4G(1) + 2E(Fn)E(Fn) . n n 2 3)polyuelererqMonteˆnmoGnest convexe surR+. Partie 1 Sortnun entier positif ou nul etkun entier tel que 0kan. On suppose dans cette partie que la loi conditionnelle deXnsachant (Fn= 2k) est une loi uniforme sur[0,2k]]. 1)Etablir, pour tout entierjtel que 0j2k,le´agil´t:e   1 P(Fn+1= 2j)(Fn= 2k) =P(Fn= 2k) 2k+ 1 (Onpourrautiliserlesyste`mecompletde´ve´nementsconstitu´eparlesdeuxre´sultats possibles du lancern+ 1.) 2)´edtdtenieuierrp,uotrnuEojtel que 0jan+1, une expression sommatoire de P(Fn+1= 2j). an X 2k+1 x1 3)Montrer que pourxant`rtenappa0[a,1[,Gn+1(x) =P(Fn= 2k). (2k+ 1)(x1) k=0 Z 1 2 4)rnE´ddeiuerp,uoxaprtpaanenat`R´l,lagee´ti1(:x)Gn+1(x) =Gn(t) dt(1) x 5)erd´enr,eutdanivtecsiofxilage´ettruotuo,ueo´etvpeurqPn0, on aE(Fn) =a. Partie 2AetBsontspartiesdsuesxuo(eL)setnadnepe´dni On suppose maintenant que la loi conditionnelle de la variableXnsachant (Fn= 2k) est une loi binomialedeparam`etres2ketr,re´attnldeer´un0e],1[. 2
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.