Mathématiques 2002 Classe Prepa HEC (S) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 18 mars 2007
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Ecricome 2002, option scientifique.
EXERCICE 1 Eurleielsscorpd´igesnuenapseevecrotcCdes nombres complexes. IdEiled´eitntdeE, Θ l’endomorphisme nul. C[X]lnespolynˆosembledeeiccstn`semeoca.plomesex Pour toutn,Cn[Xdede´egre´eserrp]edesemblensnteleoca`semoˆnylops,xelempcotsenci inf´erieuroue´gala`lentiern. n Sigest un endomorphisme deEtnied´,nogpar : 0 g=IdE n n1g=gg, nIN p PourtoutpolynoˆmePdeC[X] tel que :P(X) =a0+a1X+∙ ∙ ∙+apX, on noteP(g) p l’endomorphisme deE`a:´egalP(g) =a0IdE+a1g+∙ ∙ ∙+apg. OnrappellequepourtouspolynˆomesP,QdeC[X], on a : (P Q)(g) =P(g)Q(g) =Q(g)P(g) 3 2 Onde´signeparTedemoˆynoleplC[Xpar:ine´d]T(X) = 3XXX1 et parfun endomorphisme deEsoiisantsiaf`tnaralataleT(f) = Θ. Lebutdelexerciceestde´tudierlasuitedespuissancesdelendomorphismef.
1)enicee´ruesaareledlleque1estlMontrerT. Soientαetαnonsenicsellee´ruxdeeslraestrau etconjugu´ees.Calculerα+αetαα. 2)d´Onigespanerϕatoutpolynˆomelppataciqnoi`,iulPdeC[X] associe le reste dans la division euclidienne dePparT. a)ladimedeor`eth´ereelppleaRantes.e´rciossssnaecdslentuispssmevauilopsoˆnyisivedno b)Montrer queϕest un endomorphisme deC[X]. c)L’endomorphismeϕ? Est-il surjectif?est-il injectif 3)On noteL1, L2, L3n´esdmeˆoynolsp,elrapsi L1(X) = (X1)(Xα), L2(X) = (X1)(Xα), L3(X) = (Xα)(Xα) a)Montrer que (L1, L2, L3) est une base deC2[X]. 3 b)Montrer que pour toutnde IN, il existe un unique triplet (an, bn, cnap)rtpananea`tCtel que : n ϕ(X) =anL1+bnL2+cnL3 1 et exprimeran,bn,cnen fonction deα,α,nreire´V.quecn= . 2 c)Prouver que pour toutnde IN : n f=anL1(f) +bnL2(f) +cnL3(f) d)Justifier la convergence des suites (an), (bn), (cnlseer´estiecspresfdsrev)a,b,c. 4)On poseh=aL1(f) +bL2(f) +cL3(f). 1 2 a)Montrer queh= (3f+ 2f+IdE). 6 b)Prouver enfin quehest un projecteur.
EXERCICE 2 Onseproposeicide´tudierlase´riedetermege´ne´ral n un(x) =anx o`uxteseutelqunr´enqueelcoanrnu,e´dlee´rpani Z1 n 2 1 +t an= dt, nIN 2 0
1)Etudedelabsolueconvergencedelas´erie. a)Prouver que pour toutnentier naturel : 1 2 ann+ 1n+ 1 b)Pour|x|al,1=´nrelatermeg´es´eriedeun(x) est-elle absolument convergente? c)Dennorus,etairecesssanetsuocdnurennne´tioixedri´easg´meeret,leuqruopnee´arlun(x) soit absolument convergente. 2)Sommedelas´eriepour1x <1. On suppose maintenant,1x <1. 3 2 a)Pourt[0,1], montrer que :2xxt(1x). 2 Z 1 2 dt b)e:nt´egral.stJueridecnilexeletsi 2 2xxt 0 Z 1 2 dt c)On pose :f(x.) = 2 2xxt 0 Montrer que pour tous les entiers naturelsn: n n+1 X 8|x| f(x)uk(x)3(n+ 2)(1x) k=0 d)lanE´ddeiurelaconvergenceeltsamoemedal´sreiedetermeg´en´erun(x). e)Donner la valeur dea0etnavius:ui,pbail´steletalrraer´eiondencecurr kIN,(2k+ 3)ak+1= 1 + (k+ 1)ak p f )otdenbtmeeranttarueorppnurilaveireenPASEcrrotimhpeACuLangledech´ef(xa10)` pre`s,lere´elxet l’entierpntta´ese´.nnodse´soppus
` PROBLEME
Deux biensC1etC2ontdisponiblessuminedtvisibielssndin´eanpleelriehcramelrppanO.e´ de biens” tout couple (x, ynomb)de´eelresresneelbmntnal`appsatearDsuivant : D={(x, y)/0x,0y5,2x+ 3y19} x,yiensdubit´etnauqseltnemevitecsprentneigesd´C1et du bienC2evruhnpeiˆuttepeeuq-syqi mentconsomm´esparunagent´economique. Surlemarche´,leprixunitairedechacundecesdeuxbiensest´egala`1. Onconsid`ereunconsommateurayantunrevenue´gala`8. Lespaniersdebiensaccessiblesbudg´etairementparceconsommateurappartiennentdonca` l’ensembleBdes couples (x, y) deDtels quex+y8. Lespr´ef´erencesdececonsommateursurBon¸civsutean:´dtnineedseafal,so 0 0 0x+20x+2 (x, yuindi´erent`a()sept´rfee´´roex ,y) si et seulement si (y3)e(y3)e x+2 L’applicationueiuse´nrdBpar :u(x, y) = (ypour (3)e ,x, y)Bs’appelle la fonction dutilit´educonsommateur. PartieI:Propri´ete´sdelarelationdepr´efe´rence. Justifier les propositions suivantes : 1)(x, yre´fe´rptse)t`ener´diinou´ea(x, y). 0 00 000 00 2)Si (x, yindre´e`ant()sept´rfee´´roeiuyx ,) et si (x ,yse)ef´etpr´uindr´eoertnie´a`(x ,y) 00 00 alors (x, yst)ere´fe´rpidniuoe´(are´`tneyx ,). 0 00 0 3)(x, yes)r´tprent`a(iudnie´fee´´roeyx ,) ou (yx ,ntre´einduieor´e´fe´rptse)a`(x, y). 2
PartieII:Courbesdindi´erence.
1)esneltnelbmqihpemeuetneargrepResr´Bnad`eepnrsuonthorre(enuro´m1smctie´hacusurcn desaxes)etde´terminerlescoordonne´esdescinqsommetsdupolygoneconstituantlebord deB. 2)Dans ce qui suit, pourmgnep´esi,ond´eelrraAmnierpael´desbmlne Am={(x, y)B/u(x, y) =m} a)´Drlafonctetermineiruqeoinnmue´fm, telle que, pourmpourtout´eonait,(tx´le´nemex, y) deAm,y=fm(x). b)tuEontiesqualediuleceuqere`erepmˆemnsleerdaestnrpe´teeridreII.1la fonction x7→y=fm(x) pourm=8,m= 0,m= 8. 234567 (e'0.14,e'0.05,e'0.02,e'0.007,e'0.002, e'0.001 ) c)erinrmteDe´m0bruocaleauqe´dequurponoity=fm0(x)tioset(la`aoidrngtateenT) de´quation: 2 19 y=x+ 3 3 Repr´esenterlacourbede´quationy=fm0(x) sur le graphique. 3 2 (e'20.09,e'7.39,e'2.72 ). PartieIII:Recherchedun´el´ementmaximalsurBoprualeralprdeontienerf´´e.ec 2 1)On admet queBnferestueIRm´edrtreM.noee´lt.soubqnir2)Justifier l’existence d’un couple (x0, y0) deBcouples(tauolsse´rene`tdiinou´eerf´´eprx, y) deB. o 2 3)On noteBe`emutiossolsystnsducoesleupdertdIRlevuo 0< x 0< y <5 2x+ 3y <19 x+y <8 o Montrer queun’admet pas d’extremum local surB. 4)noitncOneo´fuatnoitamelumixledmeddiscanteetesquusurB, sous la contrainte : 2x+ 3y= 19 a)´da`retemareene`imaxdeumnemiemrlnoalofcnittneroMemesobl`ceprrquegde la variable r´eelle,d´eniesur[2,5] par : 102x x+2 g(xe) = 3 b)juiristso´exinenets.ec´eteDercerminumamamixasovrpe` 5)ctonnioutEreiddemˆemelarechercehudamixumdmlefausurB, sous chacune des quatre autres contraintes : x+y= 8, x= 0, y= 0, y= 5 6)D´dereuied´rpiuqecalede`ceurduvalele(coupx0, y0). PartieIV:Etudededeuxtestsdarrˆet. Onconside`rele´preuvequiconsiste`aeectuerunese´riedesondagessurunensemblede consommateurs du bienC1. Toutepersonneinterroge´esevoitattribuerunnum´ero. Pour toutiIedl,Nmune´eroXiaeauect´iemoci-e`ametsnmobairavenelrrteinurtues´eog ale´atoire. Les variables (Xi)iINsontmu.daenesntnitnpe´dleutemel 3
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