Mathématiques 2002 Concours FESIC

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Concours du Supérieur Concours FESIC. Sujet de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.
Publié le : vendredi 25 juillet 2008
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Concours FESIC 2002
Dans toute question ou` il intervient le plan (respectivement l’espace)
→− −→
est rapport´e`aunrep`ere orthonormal (O, ı,)=(Oxy) (respectivement
−→
→− −→O, ı,,k =(Oxyz)).
Exercice 1
Soit f la fonction d´efinie par
x 1
f(x)= − √ ,
2 ln( x)
D son ensemble de d´efinition et C sa courbe repr´esentative.
a) On a: D =]0, +∞[.
b) La courbe C admet une droite asymptote en +∞.
x
c) Pour tout x∈D,ona:f(x)< .
2
1 2
d) Pour tout x∈D,ona:f (x)= + .
22 x(lnx)
Exercice 2
Soit f la fonction d´efinie sur R par f(x)=x+sin(πx)etC sa courbe
repr´esentative.
a) Pour tout x r´eel, on a: f (x)=1+cos(πx).
f(x)
b) On a: lim =1+π.
x→0 x
c) La courbe C coupe la premi`ere bissectrice en chaque point d’abscisse
1
x =k+ ,ou`k∈Z.
2
d) La courbe C admet la premi`ere bissectrice comme droite asymptote
en +∞.
Exercice 3
Soit f et g les fonctions d´efinies par:

−2x −xf(x)=ln x+1−1 et g(x)=e +2e .
On note C la courbe repr´esentative de f et Γ celle de g.Onconsid`ere la
rotation R de centre O et d’angle π/2. On note M le point de coordonn´ees
(x,y)etd’affixez ,imageparRdupointM decoordonn´ees(x,y)etd’affixe
z.
a) L’ensemble de d´efinition de f est I = ]−1;+∞[.
b) On a: z =iz.
x = −y
c) On a:
y = xConcours d’entr´ee FESIC 2002 2
d) Tout point M de la courbe C a une image M par R qui appartient `a
la courbe Γ.
Exercice 4
On rappelle que 2<e< 3.
Soit f la fonction d´efinie surR par:
|x|e
f(x)= .
xe +1
a) La fonction f est paire.
b) On a: lim f(x) = 0 et lim f(x)=1.
x→−∞ x→+∞
3 1
c) On a: lim f(x)=− et lim f(x)= .
− +x→+0 4 x→+0 4
d) On a:
22 e +1
f(x)dx=ln .
0 2
Exercice 5
On rappelle que 2<e< 3.
Soit f la fonction d´efinie surR par
2xf(x)=(x+1)e .
a) La fonction f v´erifie l’´equation
2x(∀x∈R) y(x)−2y(x)=e .
1
b) L’´equation f(x)=− deux solutions distinctes.
16
−1
Pour α r´eel, on pose I(α)= f(x)dx.
α
c) Pour tout r´eel α,ona
1 2α+1
2αI(α)=− − e .
24e 4
(On pourra utiliser une int´egration par parties.)
d) On a: lim =+∞.
α→−∞
Exercice 6
On consid`ere les fonctions d´efinies par
sinx
1−xf(x)=[2+cosx]e et g(x)=−1− .
2+cosx
On note G la primitive de g valant 1 + ln3 en 0 et I son intervalle de
d´efinition.
a) On a: I =R.Concours d’entr´ee FESIC 2002 3
b) Pour tout x∈ I, on a: G(x)=ln[f(x)].
c) La fonction G est strictement monotone sur I.
d) On a:
1 f(1)
g(x)dx=ln .
0 f(0)
Exercice 7
Soit f la fonction d´efinie par
2x+3
f(x)= .
x+2
et D son ensemble de d´efinition. On note
2 2 x

nI = f(x)dx et, pour n∈N ,u = f(x)e dx.n
0 0
a) Il existe deux r´eels a et b tels que, pour tout x∈D,onait
b
f(x)=a+ .
x+2
b) La suite (u ) est croissante.n ∗n∈N
2

nc) Pour tout n∈N,ona:I u e I.n
d) La suite (u ) a pour limite 4−ln2.n ∗n∈N
Exercice 8
On consid`ere l’´equation diff´erentielle
y(x)−2y(x)=O (E ).1
x
2a) Les solutions de (E ) sont les fonctions y(x)=Ke ,ou`K ∈R.1
b)L’´equation(E )admetuneuniquesolutionv´erifiantlaconditiony(O)=1
2x2 et c’est la fonction y(x)=e +1.
On consid`ere l’´equation
−3x(∀x∈R) u(x)+u(x)=2e (E )2
c) Une fonction f v´erifie l’´equation (E)sietseulementsilafonctiong2
3xd´efinie, pour tout x ∈R,parg(x)=e f(x)+1, est solution de l’´equation
(E ).1
d) La fonction
−x −3xf(x)=2e −e
est l’unique fonction u v´erifiant l’´equation (E)etlaconditionu(0)=1.2
Exercice 9Concours d’entr´ee FESIC 2002 4
Pour tout entier naturel n 2, on consid`ere la fonction f,d´efinie surR
par
3f(x)=x −2nx+1.
a) Pour tout n 2, la fonction f est strictement d´ecroissante sur l’in-n
tervalle [0, 1].
b) Pour toutn 2,l’´equationf (x) = 0 admet une unique solution dansn
R.
On note u l’unique solution dans l’intervalle [0, 1] de l’´equation f (x)=0.n n
1
c) Pour tout n 2, on a: 0 u .n
n
d) On a: lim u =0.n
n→+∞
Exercice 10
On consid`ere la suite (u ) d´efinie parn n∈N
1 2
u =0,u = 1 et, pour tout n∈N,u = u + u .0 1 n+2 n+1 n
3 3
On d´efinit les suites (v ) et (w ) parn nn∈N n∈N
2
v =u −u et w =u + u .n n+1 n n n+1 n
3
a) La suite (v ) est arithm´etique.n n∈N
b) La suite (w ) est constante.n n∈N
3
c) Pour tout n∈N,ona:u = (w −v ).n n n
5
d) La suite (u ) n’a pas de limite finie.n n∈N
Exercice 11
Soit α un r´eel et (E )l’´equation d’inconnue complexe zα
2 2z +(1+α)z+α =0.
On d´esigne par M et M , les points du plan dont les affixes sont lesα α
solutions de (E ).α

a) Le nombre complexe z =−2+i 5 est une solution de (E ).α
b)Lessolutionsdel’´equation(E )sontsoitr´eelles,soitcomplexesconjugu´ees.α
c) Pour toutα>1, le triangle (OM M )estisoc`ele.α α
d) Pour toutα>1, on a: M M = (3α+1)(α−1).α αConcours d’entr´ee FESIC 2002 5
Exercice 12
Dans le plan complexe, on consid`ere le point A d’affixe 4 et l’application
F qui, `a tout pointM distinct de A, d’affixez, associe le pointM =F(M),
d’affixe z donn´epar
z−4
z = (1)
4−z
a) Le point B d’affixe 1 + 3i a pour image parF le point B d’affixe i.
b) Tous les points de la droite d’´equationx=4priv´eedupointAontla
mˆeme image par F.
c) Pour tout point M distinct de A, d’image M par F,ona:OM =1.
z −1
d) Pour tout nombre complexe z =4,lenombre (ou` z est donn´e
z−4
par (1) ) est r´eel.
Exercice 13
Soit:
(ABC) un triangle ´equilat´eral de cˆot´e3;
G le centre de gravit´e du triangle (ABC);
Hlesym´etrique de A par rapport `aG.
On pourra ´egalement consid´erer
I le milieu du segment [BC].
a) Le point H est le barycentre du syst`emedepointspond´er´es
{(A, 1); (B,−2); (C, -2)}.
−→ −→
b) On a: HA·HC = 3.
Soit P le plan passant par A et perpendiculaire `a la droite (HC).
−−→ −→
c) Pour tout point M de P,ona:HM ·HC = 3.
d) Le plan P est l’ensemble des points M de l’espace v´erifiant:
−−→ −→ −→ −→
MA−2MB−2MC ·HC =−9.
Exercice 14
Soit (SMN) un triangle isoc`ele de sommet principal S, de cercle inscrit de
centre Ω et de rayon 1.
On note Q, P, O respectivement, les points de contact du cercle inscrit avec
les segments [SM], [SN] et [MN]. Enfin, on pose OS =x.
x 1
a) On a: = .
OM QS
2b) On a: QS =x(x−2).
x
2c) On a: OM = .
x−2Concours d’entr´ee FESIC 2002 6
On rappelle que le volume d’une section de cˆone est ´egal au tiers du volume
de la section de cylindre correspondante (c’est-`a-dire de mˆeme base et de
mˆeme hauteur).
Soit V le volume du cˆone engendr´e par rotation du triangle (SMN) autour
de l’axe (SO).
d) Le volume V est minimum pour x=4.
Exercice 15
Soit n un entier sup´erieur ou ´egal `a 2. Une urne contient:
une boule num´erot´ee 0;
une boule num´erot´ee 1;
12 boules num´erot´ees 2;
22 boules num´erot´ees 3;
......
k−12 boules num´erot´eesk (ou` kestunentiercomprisentre1etn);
......
n−12 boules num´erot´eesn.
Lesboules sontindiscernables autoucher.Onextraitauhasarduneboulede
l’urne et on note X la variable al´eatoire ´egale au num´ero de la boule tir´ee.
na) L’urne contient 2 −1boules.
b) Pour tout entier naturel k tel que 1 k n,ona:P(X = k)=
n−k+12 .
c) On a pour n 2
n
k−1 nk2 =(n−1)2 +1.
k=1
nd) On a: E(X)=(n−1)2 +1.
Exercice 16
Soit n un entier sup´erieur ou ´egal `a 3. On dispose de deux urnes U et V.
L’urne U contient 2 boules blanches et n boules noires; l’urne V contient n
boules blanches et 2 noires.
Onchoisitauhasardl’unedesdeuxurnes,puisontiredeuxboulesdecette
urne, successivement et sans remise. On d´esigne par:
Ul’´ev`enement: on choisit l’urne U ;
Vl’´ev`t: on choisit V ;
Bl’´ev`enement: les deux boules tir´ees sont blanches .
2
a) On a: p(B∩U) = .
(n+2)(n+1)
2n −n+2
b) On a: p(B)= .
(n+2)(n+1)
2
c) On a: p(U|B) = .
2n −n+2
d) Pour que p(U|B) 0,1, il suffit que n 4.
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