Mathématiques 2003 Classe Prepa HEC (ECO) Concours ESC

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Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2003 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 18 mars 2007
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(a)
3. On considère dans ce paragraphe la fonctionhdéfinie surIRde la manière suivante : a
a d Justifier l'existence de l'intégraleò0fa(x)x notée ,Ia. Déterminer deux constantesa etb : telles que"xÎ[ 0 ;a11],+-xx En déduire queI1=2 ln 2-1.
Montrer grâce au changement de variablex=auqueIa=I1.
 On noteXune vh. aariable aléatoire réelle admettant une densité égale àa On noteH de rla f    a de la variableonction épartitionXa.  (b)
Calculer l'espéranceE(a+Xa) . En déduire l'espéranceE(Xa) .
ïíìsixÎ[ 0 ;a] ,h(x)=212nl-1f(x) a a  x a h x ïîsiÏ[ 0 ; ] ,a( )=0
Montrer queha est une densité de probabilité.
Calculer l'espéranceE((a+Xa)2) . En déduireE(Xa2) puis la varianceV(Xa) .
Soit la variable aléatoire à densitéT définie parT=1Xa. a Montrer que pour tout réelt de [ 0 ; 1 ] :P(T£t)=H(at) . a
(c)
 1.
 
(d)
(b)
 
 
(c)
 
 
 
(c)
En déduire queTsuit la même loi queX1.
= a +1b . +x
Montrer quefaréalise une bijection de [ 0 ;a 1] sur [ 0 ;a] . On notefa-1sa bijection réciproque. Donner le tableau des-récisant variations defa1 lesen p valeurs aux bornes.
Montrer quefa-1=f1. a
(a)
(b)
EXERCICE 1
On pose poura réel strictement positif la fonctionfa définie sur [ 0 ;a :] par  Pour toutxÎ[ 0 ;a] ,fa(x)=a(aa-+xx) .
Justifier la dérivabilité defa 0 ;sur [a calculer sa dérivée.] et
En déduire le tableau des variations defaen précisant les valeurs aux bornes.
(a)
 
2.
  
EXERCICE 2  On considère pournentier naturel non nul la matrice carrée d'ordre 3 suivante : 
æ1 ç ç An=-çn1 ç1 èn
1 n n+2 n -1 n
1ö n÷ 1÷ et on noteI n÷ 1÷ ø
æ1 ç =ç0 ç0 è
0 1 0
0ö ÷ 0÷ 1ø÷
fnmorphisme deIR3représenté parAn relativement à la base canonique deIR3. On note l'endo On considère également les vecteurs deIR3:ur=(1,1,-1) ,vr=(1,1,0) etwr=(0,-1,1) .
1. Déterminer pour tout triplet (x,y,z) deIR3l'expression defn((x,y,z)) en fonction den,x,y,z. 2. (a) Montrer queur,vr,wr sont vecteurs propresfn. de (b) Montrer que la famille (ur,vr,rw) est une base deIR3.
 
(c)
En déduire une matriceP telle que :
æ1 · Pinversible etP-1=çç0 èç1
-1 1 -1
-1ö ÷ 1÷ 0÷ø
· P-1AnP=Dn où ,D=I+1H etH nn
æ0 ç =ç0 ç è0
0 0ö ÷ 1 0÷ 0 1ø÷
n 3. On pose pour tout entier atureln non nulPn=A1A2LAn ( avecP1=A1).
 
 4.
  
(a)
(b)
 
(c)
(a)
 
(b)
 
Montrer queP =PD1D2D P-1. L n n Montrer par récurrence surn que pour tout entier natureln non nul :
 
D1D2LD=I+nH oùH est la matrice définie au 2(c). n
En déduire les neuf coefficients de la matriceP. n
Montrer que pour tout entier natureln non nulD1D2LDnest inversible
et que (D1D2LDn)-1=I-nn+1H oùH est la matrice définie au 2(c).
En déduire quePn les neuf coefficents de et donnerest inversibleP-1. n
EXERCICE 3 
On suppose quep est un réel fixé de] 0 ;1[qui représente la probabilité qu'un billet de 100 € soit faux. On dispose d'un détecteur de faux billets imparfait qui allume une lumière qui est soit bleue lorsqu'il considère que le billet testé est vrai, soit rouge lorsqu'il considère que le billet testé est faux . On noteF et: " Le billet testé est faux "BLa lumière qui s'allume est bleue ".: " On noteP(F/B)= aetP(F/B)= b, et on suppose dans tout l'exercice quea + b >1. 1. (a)En utilisant une formule des probabilités totales pour exprimerP(F),  montrer que P(B)b+a-b=p-1 .En déduire que1- a £p£ b.  (b)Montrer que la probabilité que le détecteur valide un faux billet estP(B/F)=(1p(aa-+)(b-b-1p.)) 
 (c) On suppose dans cette question uniquement queb = a = on0,95 et note    x= a +p-1=p-0,05 .Montrer que1-P(B/F)=0,9(x0,9+5x0,05) . x. En déduire un réela  tel que   P(B/F)=1-ax+xe(x) avecxli®m0e( )=0 x>0 2. On considère le programme Turbo-Pascal suivant , oùp représente la valeurp citée en introduction :
  program ESC2003 ;   var    : real ;x , v , d , r   begin  randomize ;  if random < p then v := 0 else v := 1 ;       r := random ;  x := r*r ;       d := ( 1 - x )*v + x*( 1 - v ) ;        end.  On rappelle querandom est une variable à densité qui suit une loi uniforme et qui fournit à chaque appel un réel choisi au hasard dans [ 0 ; 1 ]. Les deux appels à la fonctionrandomsont indépendants. On noteV, D, R, les variables aléatoires égales au valeurs dev,d ,r lorsque le programme a été exécuté.  (a)Montrer que P(V=0)=p.  (b)Exprimer  D  en fonction de  R  et de  V.  (c)Soit  s   fixé deun réel] 0 ; 1 [ , appelé " seuil ".  En remarquant queR etV sont deux variables aléatoires indépendantes, montrer que: P(D<s/V=0)=s etP(D³s/V=1)=1-s.    En déduire P(D<s)=p s+( 1-p)(1-1-s) .
    On utilise ce programme pour simuler un détecteur , avec (V= 0 )pour " le billet est faux "  et (D<s)     pour le rouge s'allume ". "
 
 
(d)
(e)
Montrer que la probabilité que le détecteur se trompe est égale à1-( 1-p) 1-s-p 1 On suppose ici que p=4 .Etudier sur] 0 ; 1 [la fonction définie parf(t)=3 1-t+
s.
t.
 
En déduire que pour le seuils=101  la qualité du détecteur est maximum.
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