Mathématiques 2003 Classe Prepa HEC (ECS) EM Lyon

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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2003 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 18 mars 2007
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E.M.Lyon. Math 1 . Option S. 2003
PROBLEME 1
Onconside`relapplicationϕ+: [0;[Rnie,d´eottuoprul´reet[0; +[, par : ( sint sit6= 0 ϕ(t) = t 1 sit= 0 etonconsid`ere,pourtoutentiern>rge´selael,1tnis: Z ZZ +1 + n n n In=ϕ(t) dt, Jn=ϕ(t) dt, Kn=ϕ(t) dt 0 01 PartieI:Re´sultatsge´n´erauxsurϕetJn 1)Montrer queϕ+est continue sur [0;[ et que, pour tout entiern>1l,gr´entiealJnexiste. 2)a)Montrer queϕ1] et queest strictement positive sur [0;ϕoicranssenem´etdtststciretuser [0; 1]. ´ b)urtoutr´ablir,potEleet]0,+[ :|ϕ(t)|<1. 3)a)ertronMlerte´truop,uot[0; +[ :ϕ(t)>1t. 2 (Onpourra´etudierlesvariationssur[0;+[ de l’applicationt7→sintt+t). 1 b)End´eduirep,uotruoettneirn>1 :Jn>. n+ 1 ´ Partie II : Etude deI1 Z Z x x sintcosxcost 1)a)ruot,roptneroMeelutr´x[1; +d[ :t1= cos− −dt. 2 t xt 1 1 b)deiueruqnE´degraleselesint´K1etI1sont convergentes.   1 2 2)a)tMoourrpeonrt,leer´utt[0; +[ :|sint|>sint= 1cos(2t) . 2 Z +cos(2t) b)Mnouqldertrentigr´eealtconverge. 2t 1 c)edxuuqseitnops´rD´eduiredesealgr´entileuqsetnede´ceI1n’est pas absolument convergente.
´ Partie III : Etude deIn, pourn>2
1)a)Montrer que, pour tout entiern>int´egrale2,lKnest convergente. 1 ´ b)Etablir, pour tout entiern>2 :|Kn|6 n1 2)a)Montrer que la suite (Jn)n>2e.ntsaorsi´dceets b)Montrer que la suite (Jn)n>2on noteconverge ;`sa limite. ´ c)Etablir, pour tout entiern>tt2etrouel´ea:]0; 1[ Z Z a1  n n n ϕ(t) dt6aetϕ(t) dt6(1a)ϕ(a) 0a (On pourra utiliser I.2.). d)uotre´rteriuuop,Enedd´ela: 0]0; 1[6`6aet conclure :`= 0. 3)a)Montrer que, pour tout entiern>l,2ale´egrintInest convergente. ´ b)limEtablir :In= 0. n+
´ PartieIV:Etudedelas´eriedetermeg´ene´ralIn,n>2 1)Montrer, pour tout entierp>1 :K2p+K2p+1>0. 2)´eendtuiierre,pourtEonudtN>1 : N N X X (I2p+I2p+1)>(J2p+J2p+1) p=1p=1 X 3)ude´qeridnEies´eruelaIndiverge. (On pourra utiliser I.3.b.). n>2
PROBLEME 2
Danstoutleprobl`eme,nstunentiernaturee`aalet2,puslire´oruege´uEest un espace euclidien de dimensionn´eottntlepdoncstiudorseerialah., .i´ecisteeamnetolrsoeas´tonee||.||. On note ˜ idEl’application identique deE, et 0 l’application nulle deE. SiFest un sous-espace vectoriel deE, on noteFsel-suoapseevecorctlsieplupme´etniaer orthogonal deFdans E. Le projecteur deEsurFmele`ellarap`antFeslee´atppceetrpjothogurorsuronalF. Pour tout endomorphismefdeEet toute valeur propreλdef, on noteEf(λ) le sous-espace propre def´i`elavaasscoepreualrorpλ. PartieI:Inversege´ne´ralis´edunendomorphismesym´etrique Onconside`reunendomorphismesym´etriquefdeEcest-`a-direunemodnhproemsi,ftel que : 2 (x, y)E ,hf(x), yi=hx, f(y)i On suppose de plus quefest non inversible et non nul. 1)Montrer que 0 est valeur propre defet quefadmet au-moins une valeur propre non nulle. 2)a)Soientλetµdeux valeurs propres def. Montrer, pour tout vecteurxdeEf(λ) et pour tout vecteurydeEf(µ) : λhx, yi=µhx, yi b)End´eduirequelessuo-sseapecpsorpresdefuedatroxogohxuan.sontdeux` 3)Montrer que les sous-espaces vectoriels Imfet Kerflppustnoiatneme´hortsoredauxnagonss E. On suppose quefadmet exactementkprrsreop1v+eualdxueitsiuedsda`xsncteλ0, λ1, . . . , λk aveck>1, λ0= 0 et 0<|λ1|6. . .6|λk|. Pour tout entier natureljegu´`aalfniire´oruek, on notepjle projecteur orthogonal surEf(λj). 4)Soitxun vecteur deE. a)Montrer qu’il existe un unique (k(+ 1)-upletx0, x1. . . , xk) deEf(0)×Ef(λ1)× ∙ ∙ ∙ ×Ef(λk) tel quex=x0+x1+. . .+xk. b)Pour tout entier natureljage´uorueire´fnil`ak, montrer :pj(x) =xj. Ainsi,larelationsuivanteestclairementv´erie´e: idE=p0+p1+. . .+pk 5)a)Etablir, pour tout couple (i, j)dentiersnatlerufnisire´srue´eouuxga`ak: ˜ i6=j=pipj= 0 b)Montrer :f=λ1p1+λ2p2+∙ ∙ ∙+λkpk. c)Montrer que le projecteur orthogonalpsur Imf:e´vrei p=p1+p2+∙ ∙ ∙+pk 2
1 11 ] ] On notefl’endomorphisme deErapind´ef=p1+p2+∙ ∙ ∙+pk. λ1λ2λk ] On dit queflnietseg´eversalisn´erde´ef. ] 6)a)Montrer :ff=p.   2] b)Ee´dnduire:(x, y)fE ,(x) =p(y)⇐⇒xf(y)Kerf. 7)Soityun vecteur deE.   ] a)Montrer :xE,||f(x)y||= inf||f(z)y|| ⇐⇒xf(y)Kerf zE ] b)euqeriud´edEnf(y) est le vecteurxdeEriant:pldesuepitetonmrvee´ ||f(x)y||= inf||f(z)y|| zE
PartieII:Application`aunexemple Dans cette question,Eest un espace euclidien de dimension 4 etB= (e1, e2, e3, e4) est une base orthonormale deE. On note :   3 0–1 0 –10 1 0A=  –1 0 3 0 0 –10 1 Soitfl’endomorphisme deEco´iassamate`alriceAvitanemela`tsabaerelB. 1)Justifier quefsiernvninoetulnn.elbetsnuneodomprihsmesym´etriqueno 2)Montrer quefadmet exactement trois valeurs propres distinctesλ0, λ1, λ2avecλ0< λ1< λ2. On notep1le projecteur orthogonal surEf(λ1) etM1soci´ee`atriceaslmaap1aalmevi`tnertale baseB. On notep2le projecteur orthogonal surEf(λ2) etM2`aeei´ocssaecirtamalp2vteimleanrte`ala baseB. 3)Montrer :A= 2M1+ 4M2. 4)a)Montrer queEf(λ2)dtsemidenuevnirertcueon1eensitermtd´ev2deEf(λ2) tel que ||v2||= 1. b)Montrer :xE, p2(x) =hx, v2iv2. c)eclrmataireretnemiD´M2. ] 5)Eelamatrind´eduira`ee´icossaecfrsaeabalt`enemivatelB.
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