Mathématiques 2003 Classe Prepa HEC (S) Concours ESC

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Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2003 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 18 mars 2007
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EXERCICE 1 
On considère la fonctionf définie surIR tout Pourpar :tÎIR,f(t)=pt2+-t. (e e) 1. (a) Soit la fonctiongdéfinie sur] 0; 2p[par : tout Pourq Î] 0; 2p[ ,g(q)=ln(tanq).  Montrer queg est de classeC1sur] 0;p2 [et calculer sa dérivée.  (b) En déduire grâce au changement de variablet=g(q)quef est une densité de probabilité.  On note dans toute la suiteX une variable aléatoire admettant une densité égale à f.  (c) Montrer quefest paire , puis queX admet une espérance et que celle-ci est nulle.
2.Ce paragraphe établit des préliminaires au calcul de la variance deX.Soitp un entier naturel non nul.  (a) SoitY une variable aléatoire réelle suivant une loi exponentielle de paramètrep.  Donner l'espérance et la variance deY. En déduire l'espéranceE(Y2). On note=¥2d  (b)Jpò0+t e-ptt. Déduire du (a) la convergence et la valeur deJpen fonction dep. t t2e-pdtco  (c) Montrer que l'intégraleò01+e-2tnverge et quepl®imò01t+2ee--pt2tdt=0. 3.dans ce paragraphe la variance deOn exprime X à l'aide d'une série. nÎI pour tout. Montrer queÎIR+-+ - ++ -- (a) SoitN t,1+1e-2t=( 1)n1e1+2(ne-21t)tkån=0( 1)ke2kt. én+ -n+t n k-2k+1tù = ê ú pê-+åú- (b) En déduire que pournÎINettÎIR+ :f(t) 2ë( 1)1e1+(2e-32t)k=0( 1)e( )û.  Montrer finalement queXadmet une variance et que=8p+å¥(-1)k3  (c)V(X). k=0(2k+1)
4. SoientU etV deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé et suivant  une loi normale centrée réduiteN0 ; 1 ) . On note( h une densité deU et deV.  (a) Montrer que la variable aléatoireA=ln(U)est une variable aléatoire à densité admettant  une densitéfAtelle que pour tout réelx ,fA(x)=2exh(ex).  (b) Montrer que la variable aléatoireB= -ln(V)est une variable aléatoire à densité admettant  une densitéfBtelle que pour tout réelx ,fB(x)=fA(-x).
 
 
(c)
 
  
SoitC la variable aléatoire à densitéC=A+B=lnæèçVUöø÷. Calculer pour tout réel strictement positify l'intégraleò0u1fB(-lnu)fA(ln(uy))du. En effectuant dans cette intégrale le changement de variableu=e-ten déduire une densité deC. Vérifier queC suit la même loi queX.
EXERCICE 2  Dans cet exercice ,n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. On noteE leIR- espace vectorielIRn muni de son produit scalaire canonique noté < . , . > et de norme associée notée.. On noteBCla base canonique(e1,e2,L,en)deIRn, qui est orthonormée pour ce produit scalaire. On considère l'endomorphismef deE tel que pour toutiÎ {1,L,n},f(ei)=e1+e2+L+en.
On noteI matrice carrée unité d'ordre lan.
Etant donnésn réelsa1,a2,L,an, on notem=min(a1,a2,L,an)et on suppose quem>n. On noted l'endomorphisme deE tel que pour toutiÎ {1,L,n},d(ei)=aiei.
On note enfing l'endomorphisme deE défini parg=f+d.
1.  
 
 
 
 
2.
 
 
 
(a) Montrer que le vecteurw=e1+e2+L+enest un vecteur propre de f .  A quelle valeur propre est-il associé ?
(b) DéterminerIm(f)et en préciser une base orthonormée.
(c) Prouver queKer(f)est le sous-espace vectoriel deE de baseB'=(e2-e1,e3-e1,L,en-e1). (d) Justifier queIm(f)=(Ker(f))^( orthogonal deKer(f)pour le produit scalaire canonique ). (e) En déduire qu'il existe une base orthonormée deE formée de vecteurs propres def, et que  pour tout vecteuru deE,f(u)£n u. (a) Justifier qued est un automorphisme deE. (b) Montrer que pour toutu deE,d(u)³m u, et que pour toutv deE,d-1(v)£m1v.
(c)
(d)
Prouver que pour tout vecteur non nulu deE,f(u)<d(u).
En déduire en étudiantKer(g)que l'endomorphismeg est un automorphisme deE.
3. Soit un vecteurv fixé deE. Il existe d'après le 2.(d). un unique vecteuru deE tel queg(u)=v.  On considère alors la suite(uk)kÎINde vecteurs deE : définie par
 
 
 
 
 
 
(a)
(b)
(c)
 
ìïu0=v íïî"kÎIN,uk+1=d-1(v)-(d-1of)(uk) 
Vérifier queu=d-1(v)-(d-1of)(u). Montrer que pour tout entier naturelk :uk+1-u= -(d-1of)(uk-u).
En déduire que pour tout entier naturelk :uk+1-u Montrer enfin quekl®imuk-u=0.
£n m
uk-u.
EXERCICE 3 
Dans cet exercicen désigne un entier naturel non nul. On dispose de deux jeuxidentiquesden cartes chacun , dont les dos sont indiscernables. Chacun de ces jeux est composé den figurines représentant des animaux différents.
Partie A 
On choisit au hasard et simultanément une carte dans chaque jeu , formant ainsi une paire de cartes , mise de côté. On recommencen fois ce tirage sans remise. On dispose alors den paires de cartes. 1. Quelle est la probabilité que lesn paires d'animaux soient reconstituées ? 2. Soitk un entier naturel de{0,L,n-1etk paires d'animaux fixées arbitrairement.  Quelle est la probabilité qu'au moins cesk paires d'animaux soient reconstituées ? 3. Montrer grâce à la formule du crible que la probabilitépnqu'aucune paire d'animaux ne soit reconstituée n  est égale àpn=å(-k!)1k. Déterminer la limite de la suite(pn)n³1. k=0 Partie B 
On mélange maintenant les deux jeux dans une urne. A chaque tour on tire une poignée de deux cartes. Si les animaux représentés sur ces deux cartes sont les mêmes , on ne remet pas les deux cartes dans l'urne , sinon on les remet dans l'urne. SoitTnont été nécessaires pour vider l'urne , en reconstituantla variable aléatoire égale au nombre de tours qui ainsi lesn paires de figurines d'animaux. 1. Déterminer la loi et l'espérance de la variableT1. 2. DéterminerTn(W)pourn supérieur ou égal à 2. 3. (a) En utilisant les événementsCi: " lors dui- ième tour , une paire d'animaux est reconstituée ",  montrer que pour tout entierk supérieur ou égal à 2 : -P(T2=k)=3231k2.  (b) Montrer queT2admet une espérance et la calculer. 4. (a) Déterminer les probabilitésP(T3=3),P(T3=4).  En utilisant le système complet d'événementsC1,C1, déterminerP(T3=5).  (b) Montrer plus généralement que pour tout entier natureln supérieur ou égal à 2 et pourk³n-1: P T=k+ = Tn P= +2n-=.   (n1)C22(n-1k)C2C22nP(Tnk) n n  (c)On admet dans cette question que pour tout entier naturel non nuln,Tnadmet une espérance.  Montrer en multipliant l'égalité précédente park et en sommant dek=n-1à+ ¥  que pour tout entier natureln supérieur ou égal à 2 ,E(Tn)=E(Tn-1)+2n-1.  En déduire pour tout entier naturel non nuln une expression deE(Tn)en fonction den.  
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