Mathématiques 2004 Classe Prepa HEC (ECO) Concours ESC

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Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 18 mars 2007
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EXERCICE 1
On considère les matrices carrées d'ordre 3 suivantes :

 0 G =  0  − 2 

1 2 1

1 − 4  , H = − 3 0  − 3 3  

3 2 3

3 1  , P = 1 3  1 2  

0 1 −1

1 1  , I = 0 0  0 1  

0 1 0

0 0  1 

1  0  1 0 1 , X =  1  , X =  0  , O =  0  . ainsi que les matrices colonne d'ordre 3 : X1 = 2 3         1  − 1 1 0        
1. Déterminer les valeurs propres de G et vérifier que X1 , X 2 , X 3 sont des vecteurs propres de G. 2. (a) (b) (c) Calculer les produits HX1 , HX 2 , HX 3 .
−1 −1

Montrer que la matrice P est inversible , et que les produits P GP et P HP fournissent deux matrices diagonales ( que l'on déterminera ). Montrer que 0 est valeur propre de H − G , avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par X1 .

Montrer que 0 est valeur propre de 2H + G , avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par X 2 . Montrer que 0 est valeur propre de H + G , avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par X 3 .
  ¡

On note dans toute la suite f l'application définie sur 3. (a) (b)

3(IR ) par 3(IR ) .

f ( M ) = HMG − GMH .

Montrer que f est un endomorphisme de

On suppose que M est une matrice appartenant au noyau Ker( f ) . b1. Montrer que pour toute matrice colonne X d'ordre 3 ,HMGX − GMHX = O . En déduire les relations : ( H − G )MX1 = O .

( 2H + G )MX 2 = O .

b2. Montrer alors en utilisant la question 2(c) qu'il existe trois réels α , β , γ tels que

( H + G )MX 3 = O .

MX1 = αX1 , MX 2 = β X 2 , MX 3 = γX 3 .

α  b3. En déduire la relation P MP = 0  0 
−1

0 β 0

0 0 .  γ  0 b 0 0 3 −1 0  P , où (a , b , c ) ∈ IR .  c 

(c)

a  Soit E l'ensemble de toutes les matrices P 0  0  Montrer que E est un sous-espace vectoriel de Déduire de la question 3.(b) que Ker( f ) ⊂ E .
¡

3(IR ) de dimension inférieure ou égale à 3 .

(d) (e)

Montrer que HG = GH , HG = G H et H G = GH . En déduire que les matrices I , G et H sont éléments de Ker( f ) . Montrer que la famille ( I, G, H ) est libre. Par une argumentation liée aux dimensions , montrer enfin que la famille ( I, G, H ) est une base de Ker( f ) .

2

2

2

2

EXERCICE 2
On considère pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 la fonction fn définie sur IR
+

par :

fn(t) = e n . 1+t
1. (a) (b) Justifier la dérivabilité de la fonction f n sur IR . Etudier les variations de la fonction f n , préciser sa limite en + ∞ et sa valeur en 0.
+

−t

2. Etude d'une suite d'intégrales impropres. On pose pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 : I n =

∫0
t

+∞

fn(t)dt

( Il est démontré dans le (a) que chacune de ces intégrales est convergente ).

(a)

Montrer que pour tout réel t strictement positif , fn(t) ≤ 1 . n En déduire la convergence de l'intégrale

∫1

+∞

f n(t)dt , puis de l'intégraleI n .

(b) (c) (d) (e)

Montrer que

n → +∞ 1

lim



+∞

f n(t)dt = 0 .
−t

Montrer que pour tout réel t positif , 0 ≤ e En déduire Déterminer
n → +∞

− f n(t) ≤ t .

n

lim

∫ 0 fn(t)dt = 1 − 1 . e

1

lim I . n → +∞ n

3. Etude d'une fonction définie par des limites. (a) (b) Pour tout réel t positif , déterminer
+

lim f (t) . ( On distinguera t < 1 , t = 1 , t > 1 ). n → +∞ n lim f (t) . n → +∞ n
−1

Dès lors , on définit sur IR une fonction h par h(t) =

Donner la courbe représentative de h dans un repère orthonormé. ( On donne e h est-elle continue ? (c) Etudier l'intégrale

≅ 0,37 )

∫0

+∞

h(t)dt . A-t-on ici

∫0

+∞

lim f (t)dt = lim n → +∞ n n → +∞ 0



+∞

f n(t)dt ?

EXERCICE 3
Lorsque A et B sont deux événements d'un même espace probabilisé , on désignera parPB(A) la probabilité conditionnelle de A sachant B , où B est un événement de probabilité non nulle : PB(A) = P(A / B) . Dans cet exercice N désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. Un joueur lance une pièce équilibrée indéfiniment. On note X N la variable aléatoire réelle discrète ( On peut appeler X N le " nombre de changements " au cours des N premiers lancers ). Par exemple , si les 9 premiers lancers ont donné successivement : Pile , Pile , Face , Pile , Face , Face , Face , Pile , Pile alors la variable X 9 aura pris la valeur 4 ( quatre changements, aux 3° , 4° , 5° et 8° lancers ). 1. Justifier que X N (Ω) =

égale au nombre de fois où , au cours des N premiers lancers , deux résultats successifs ont été différents.

{ 0,
¢

, N − 1 }.

2. Déterminer la loi de X 2 ainsi que son espérance. Déterminer la loi de X 3 . 3. Montrer que P(X N = 0) = 1 4. (a)

(2 ) N −1 et

N P(X N = 1) = 2(N − 1) 1 . 2

()

Justifier que pour tout entier k de

{ 0 , ... , N

−1}:

(b)

PX = k (X N +1 = k) = 1 ( C'est à direP(X N +1 = k / X N = k) = 1 ) 2 2 N En déduire que pour tout entier k de { 0 , ... , N − 1 } : P( X N +1 − X N = 0 ∩ X N = k ) = 1 P( X N = k ) . 2
En sommant cette relation de k = 0 à N - 1 , montrer que P( X N +1 − X N = 0 ) = 1 . 2 Montrer que la variable X N +1 − X N suit une loi de Bernoulli de paramètre 1 . 2 En déduire la relation E( X N +1 ) = 1 + E( X N ) , puis donner E( X N ) en fonction de N. 2

(c) (d)

5.

(a) (b)

Montrer grâce aux résultats 4(b) et 4(c) que les variables X N +1 − X N et X N sont indépendantes. En déduire par récurrence sur N que X N suit une loi binômiale En déduire la variance V( X N ) .

( N

− 1, 1 ) . 2

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