Mathématiques 2004 Classe Prepa HEC (ECS) EDHEC Lille

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Examen du Supérieur EDHEC Lille. Sujet de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 18 mars 2007
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EDHEC 2004, option scientifique
EXERCICE 1 Dans tout l’exercice,Xbleaariatoirl´eaavtnseiudiPealoldeonssoietm`rapaertsevenuλ >0. 1)agil´t.ee`ernie´imerpenU 1 a)Montrer queP(|Xλ|>λ)6. λ 1 b)´dnE´t(e´einligauiedlre) :P(X>2λ)6. λ 2)eam´i`erPremnilednoitaroilee(t´liga´e). a)SoitYae´lriotsidee`rcevuniaareablitevesataytnnueete,`avaleursposincra´espe. On noteY(Ω) ={y0, y1, . . . , yn, . . .}. E(Y) Montrer, en minorantE(Y), que :a >0, P(Y>a)6. a 2 b)onncd`siOediscr`et´eatoireirbaellareueenavZceanrivadeetleulnecnare´psed,σ. Montrer que, pour tout couple (a, x) de ]0,+[×R+:   2 2 P(Z>a)6P(Z+x)>(a+x)
2 c)Enuaiqplape´niltnoe´tilagbtenueen2.ae(`alavraailbae´laeotriZ+x) ,montrer que : 2 2 σ+x a >0,x>0, P(Z>a)6 2 (a+x) 2 σ d)ue:ireq´eduEnda >0, P(Z>a)6tcoineilrfanoudeta´rrounp(ofuqi,`a 2 2 σ+a 2 2 σ+x toutxdeR+, associe). 2 (a+x) 1 e)erisqtutec:eilUtuope´tilrertnomr`enieredga´einreP(X>2λ)6. λ+ 1 3)ueixDmae´e`emlagee´ti(orliioatelndn´i). +X k Pourtoutr´eelt, on poseGX(t) =P(X=k)t. k=0 λ(t1) a)Justifier l’existence deGX(t) et montrer que :GX(t) = e. GX(t) b)Montrer que :t[1,+[,a >0, P(X>a)6 a t t1 e c)nimumsuri[1nerlemiDe´etmr,+[ de la fonctiong:t7→. 2 t   λ e d)quree:d´EnuiedP(X>2λ)6. 4 4)edercettrquentrerotae´ilermaine`equrleilmestneioa`eunetboelleceualuqseitnooM2.esde` queλprend des valeur assez grandes.
EXERCICE 2 Z +dt 1)On pose, lorsque c’est possible,f(x. Montrer que le domaine de) = x+1 1 +t+t 1 de´nitiondelafonctionfest ]0,+[. 2)Montrer quefssnaetusdte´rcioes0r],+[. Z +dt 3)a)decnetsixelreistJuit´euantelaqg(x)ru0]inse´de,+[ parg(x.) = x t(1 +t) 1
x1 1t b)Pour toutxde ]0,+[ et pour touttde [1,+[, simplifier,upquire:´eisblta x t1 +t ln 2 x]0,+[, g(x.) = x ln 2 c)requeduiEnd´:ex]0,+[,06f(x)6milrenimreetd´ispu,f(x). x x+ln 21 4)a)Montrer que :x]0,+[,06f(x)6. x2x+ 1 + b)d´Enuiedlaremilietedf(x) quandxrs0ndveiquainsetviuqe´nuedtnelaf(x) lorsquex + est au voisinage de 0. 5)Dresser le tableau de variation def. EXERCICE 3 Onconsid`eredeuxvariablesale´atoiresXetYapseecteslstounie,d´eeˆemlrmexuusseed probabilis´e(Ω,A, P0[rin),epd´neadtnseteusvinatlaloiuniformesu,1]. On poseZ=X+Y. 1)a)denerenudeeis´tDinrmte´eZ. b)Montrer que, pour toutxde ]0,st(mene´vnesee´1[,lZ >1) et (1x < Z61 +x) sont inde´pendants. 2)On poseT= max(X, Y). On admet queTe´deeintae´erioabrialletuesvanesuisllaeusr lespaceprobabilis´e(Ω,A, P). a)Montrer queTtuesabrivaneededonnerunedensit´ela`edsntie´upsiT. b)ueeqEe´dnriudToscepaendesr`pn´eeesuE(Tet).renimrete´dal c)On poseU=|XY|et on admet queUsisurutense´ealoiatrivaleablleesuae´derine lespaceprobabilise´(Ω,A, P). Montrer queUeridectseisnabiomean´lionZetT, puis en d´eduirelesp´erancedeU. ` PROBLEME Danstoutleproble`me,lalettrenuter.l´designeunentierna Partie 1 n On noteEnleRotceleirfsedtcnonsioeer´esllcldesaes-espacevCsur [0,1]. En particulier,E0est leRse-tcevecapesldieorontincfoscontinusr´eelleseus[r0,1]. On noteNl’ensemble des fonctionsfdeE2plusntderiae´vf(0) =f(1) = 0. Onconsid`erelapplicationudeNdansE0`u,oituaoqfetitcnnofdeNascisoadesri´e´veeesocdn,e 00 note´ef. 1)Montrer queNest un sous-espace vectoriel deE2. 2)Montrer queuappltuneionlicatse.ejeinivct´einreai Z 1 1 3)Soitg´nue´lementdeE0. Pour toutxde [0,1], on poseG(x) =|xt|g(t) dt. 2 0 a)Justifier queGmentel´eest´edE1et montrer que : Z Z   x1 1 0 x[0,1], G(x) =g(t) dtg(t) dt 2 0x 00 b)ueeqirude´dnEGneedteeml´´estE2ineredte´etmrG. c)Pour toutxde [0,1], on poseH(x) =G(x) +ax+besr´nerlermiD´etee.slaetb(sous forme dinte´grales)pourqueHeitrappanne`aN. d)D´etermnireu(Heuiedqureupsine´d)uest surjective. e)nsiostueduQe´duneop-etqsederiu2et3.d? 4)trtouireVe´p,uoqreux0[´eeentdl´em,1]. Z ZZ 1 11 1 1x 1 (u)(g)(x) =|xt|g(t) dttg(t) dt(12t)g(t) dt 2 22 0 00 2
Partie 2 On notePnlsemonylopsnoitcnofesldieorctvecepae´irueorge´riefnellesdedialesr´eegu´`aaln. k Pour tout entier naturelkotruoptelee´rtux, on poseek(x) =xibnevace,ˆsrue0(x) = 1, et on rappelle queB= (e0, e1, . . . , en) est une base dePn. On noteNnle sous-espace vectoriel dePnde´etutinscoonylopsnoitcnofsesmialPr´eedegd infe´rieuroue´gal`anet telles queP(0) =P(1) = 0. k+1 Pour tout entier naturelktu´reelteopruotxon posefk(x) =x(x1). 1)Montrer queC= (f0, f1, . . . , fn) est une base deNn+2. Onconside`relapplicationline´airevdeNn+2dansPnonefutto`ai,quctionPdeNn+2 00 associesade´riv´eeseconde,note´eP. 2)a)Pour toutkde[0, n]],drermin´etev(fk) en fonction de certains des vecteurs deB, puis en de´duirelamatriceAdevrelativement aux basesCetB. b)requeEnd´eduivest un isomorphisme deNn+2surPn. k X c)uortuotrrep,lpiimS´eelxet pour tout entier naturelk, la sommefj(x). j=0 d)querpplipuisici,qume`erideontieseitrapalastuep1Justierquelere´ustltaedaluqta 1 d´eterminer,enutilisantlere´sultatdelaquestion2.c, la matriceA. e)so`uadsnelacnr`ire,edeteetrceri´eVn= 2 (les calculs devront figurer sur la copie). 3)noanccitOd`eronsipplielawqottuiua`eneml´´etPdePnassociew(Pu`o,)w(P)estlad´eriv´ee 2 secondedelapplicationqui`atoutre´elxassocie (xx)P(x). a)Montrer quewest un endomorphisme dePn. b)Pour toutkde[0, nreete´nimr]],dw(ek). c)edmatairecreuielquEnedd´wdansBn’est autre que la matriceAde la question2.a. d)L’endomorphismew? Est-ce un automorphisme deest-il diagonalisablePn? e)Dans le casnrospesprde=2,d´eterminreelssuo-sseapecw.
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