Mathématiques 2004 Concours GEIPI

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Concours du Supérieur Concours GEIPI. Sujet de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 9 mars 2008
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Lesujetcomporte15pagesnumeroteesde1a15 EXERCICE I - (12 points) Donnerlesreponsesacetexercicedanslescadresprevusci-dessous Partie A Onsinteressealaproductiondunarbrefruitierdonne. Onsaitquelorsdelannee 2000 ,larbreadonneunebonnerecolte. Pour tout entier n N , on note : -B n lntlarbredonneunebonnerecoltedurantlannee 2000 + n ”, eveneme -M n lementlarbredonneunemauvaiserecoltedurantlannee 2000 + n ”. even Silorsdelannee 2000 + n larbredonneunebonnerecolte,lanneesuivante,ildonneune 1 2 bonnerecolteaveclaprobabilite 3 etilendonneunemauvaiseaveclaprobabilite 3 . Siparcontrelorsdelannee 2000 + n larbredonneunemauvaiserecolte,lannee 2 suivante,ildonneunebonnerecolteaveclaprobabilite3 et il en donne une mauvaise avec 1 laprobabilite3 . I-A-1-On note P B ( A ) laprobabilitedelevenement A sachantquelevenement B estrelisa e. Donner, pour tout entier n N ,lesprobabilitesconditionnellessuivantes: P B n ( B n +1 ) , P M n ( B n +1 ) , P B n ( M n +1 ) , P M n ( M n +1 ) . I-A-2-Pour tout entier n N , on note p n laprobabilitedelevenement B n et q n la probabilitedelevenement M n ,cestadire: p n = P ( B n ) et q n = P ( M n ) . I-A-2-a-Donner p 0 et q 0 . I-A-2-b-Donner pour tout entier n N , la valeur de p n + q n . I-A-3-a-Pour tout entier n N ,determinerlesprobabilites P ( B n +1 B n ) et P ( B n +1 M n ) en fonction de p n et de q n . REPONSES A L’EXERCICE I I-A-1-P B ( B n +1 )=13 P M n ( B n +1 )=32 n P B n ( M n +1 )=23 P M n ( M n +1 )=13 I-A-2-a-p 0 = 1 q 0 = 0
I-A-2-b p n + q n = 1
I-A-3-a-P ( B n +1 B n ) = P B n ( B n +1 ) × P ( B ) 1 n =3 p n P ( B n +1 M n ) = P M n ( B n +1 ) × P ( M n )=23 q n
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EXERCICE I (Suite) Donnerlesreponsesacetexercicedanslescadresprevusalapage3
Partie A (suite) 1 2 I-A-3-b-Soit n N . Justier la relation : p n +1 =3 p n +3 q n . I-A-3-c-Pour tout entier n N ,determinerlesprobabilites P ( M n +1 B n ) et P ( M n +1 M n ) , en fonction de p n et de q n . Endeduire q n +1 en fonction de p n et de q n . I-A-4-On pose : u n = p n q n , pour tout entier n N . I-A-4-a-On montre que la suite ( u n ) n N estunesuitegeometriquederaison b et de premier terme u 0 .Preciser b et u 0 . I-A-4-b-Pour tout entier n N , expliciter u n en fonction de n . I-A-5-a-Deduiredesquestions I-A-2-b-et I-A-4-, les expressions de p n et de q n en fonction de n . I-A-5-b-Calculer lim p n et lim + q n . n + n → ∞
Partie B
Lexploitantagricolerealiseenvendantlarecoltedelarbrefruitierconsidereenpremiere partie,unbenecequiestde: -200 eurossilarecolteestbonne, -10 euros si la r lte est mauvaise. eco Pour tout entier n N , on note G n lavariablealeatoirerepresentantlegaineneurosde lagriculteurpourcetarbrelorsdelannee 2000 + n .
I-B-1-Completerletableaudonnantlaloide G n . I-B-2-Soit E ( G n ) lesperancede G n . Justier que E ( G n ) = 105 + 95 µ 13 n I-B-3-Quelle est la somme totale S desgainsquepeutespererobtenirlagriculteur, pourlesdixpremieresanneesderecoltesurcetarbre,de 2000 a 2009 ? Donner la valeur exacte de S avecledetailducalcul,puisdonnerunevaleur approcheeauneuropres. I-B-4-Calculer n l i + m E ( G n ) .Justierleresultat.
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I-A-3-b-I-A-3-c-
I-A-4-a-I-A-4-b-I-A-5-a-
I-A-5-b-I-B-1-
I-B-2-
I-B-3-
I-B-4-
OCCNUOSR
REPONSES A L’EXERCICE I (Suite) 1 2 p n +1 =3 p n +3 q n car p n +1 = P ( B n +1 ) = P ( B n +1 B n ) + P ( B n +1 M n )=31 p n +32 q n P ( M n +1 B n ) = P B n ( M n +1 ) × P ( B n )=23 p n P ( M n +1 M n ) = P M n ( M n +1 ) × P ( M n )=31 q n 2 1 q n +1 = P ( M n +1 B n ) + P ( M n +1 M n ) = 3 p n +3 q n Comme u n +1 = p n +1 q n +1 = 31 p n +31 q n = 13( p n q ) = 1 n u n 1 3 b = 3 u 0 = p 0 q 0 = 1 u n = u 0 b n = µ 13 n n Comme p n + q nn = 1 et p n q n = µ 31 12 µ 1 µ 13 n p n =12 µ 1 + µ 13 ¶ ¶ q n =
1 1 n = n l i + m p 2 n l im + q n =2
x 200 10 P ( G n = x ) p n q n E ( G n ) = 105 + 95 µ 13 n car E ( G n ) = 200 p n + 10 q n Donc E ( G n ) = 100 µ 1 + µ 13 n + 5 µ 1 µ 13 n = 105 + 95 µ 13 n .
S = E ( G 0 ) + E ( G 1 ) + ∙ ∙ ∙ + E ( G 9 ) = 105 × 10 + 95 " 1 + µ 13 + µ 13 2 + ∙ ∙ ∙ + µ 13 = 105 × 10 + 95 1 1 ¡ + 3113 ¢ 10 =1050+954 × 3 µ 1 3 1 1 09 #S ' 1121 ( n ) = 105 1 donc n l i + m µ 31 n = 0 lim E G car < 1 n + ¯ 3 ¯
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EXERCICE II - (10 points) Donnerlesreponsesacetexercicedanslescadresprevusalapage5
~ Onconsiderelespacerapporteaunrepereorthonorme( O,ı~,~,k ) . Onappellevecteurnormalaunplan P de l’espace tout vecteur directeur d’une droite or-thogonalea P . Soit le plan P 1 dequation 2 x + 3 y z = 0 et le plan P 2 passant par le point A (0 , 2 , 1) et de vecteur normal ~n 2 (4 , 2 , 1) .
II-1-Determineruneequationduplan P 2 . II-2-a-Donner un vecteur ~n 1 normala P 1 . En utilisant les vecteurs ~n 1 et ~n 2 , justier que les plans P 1 et P 2 sontsecants. II-2-b-Determinerunpoint E et un vecteur directeur u~ de la droite D intersection de P 1 et de P 2 . II-3-Onconsidereleplan P dequation: 2 x + y = 0 . II-3-a-Donner un vecteur ~n normal au plan P . II-3-b-Montrer que D estparalleleauplan P . II-3-c-En utilisant les vecteurs n , n 1 et ~n 2 , justier que les plans P et P 1 sont ~ ~ secantsainsiquelesplans P et P 2 . II-4-a-Montrer que les points O et A 1 (1 , 2 , 8) appartiennent aux plans P et P 1 . II-4-b-Endeduireunsystemedequationsparametriquesdeladroite D 1 , intersection des plans P et P 1 . II-5-a-Montrer que A 2 (0 , 0 , 3) appartient aux plans P et P 2 . II-5-b-Soit le vecteur ~v (1 , 2 , 8) .Determinerlesproduitsscalaires v~.~n et v~.n 2 . ~ II-5-c-Donner un point et un vecteur directeur de D 2 , intersection entre les plans P et P 2 . II-5-d-Quelleproprieteverientlesdroites D 1 , D 2 et D ?Justierlareponse. II-6-Onconsiderelepoint M (2 , 1 , 1) . Ondesignepar H ( a, b, c ) la projection orthogonale du point M sur le plan P . −−→ II-6-a-Que peut on dire des vecteurs M H et ~n ? II-6-b-Quellesrelationsendeduirepourlescoordonnees a, b et c de H ? II-6-c-Determinerlescoordonnees a, b et c de H .
CONCOURSG.E.I.P.I.2004
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