Mathématiques 2005 Classe Prepa HEC (ECO) Concours ESC

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Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2005 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 18 mars 2007
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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION ECONOMIQUE Année 2005
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
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EXERCICE 1 3 SoitB= (e1; e2; e3)la base canonique de lespace vectorielR. Onconsidère les matrices : 0 10 10 1 31 01 0 00 0 0 @ A@ A@ A A= 1;6 1I= 0;1 0O0 0= 0 30 0 08 00 0 1 On note : 3 flendomorphisme deRdont la matrice relativement à la baseBestA. 3 Idlendomorphisme deRdont la matrice relativement à la baseBestI. 3 hlendomorphisme deRdéni par :h=f3 Id. Nla matrice de lendomorphismehrelativement à la base B. 0 1 01 0 @ A 2 3 1. (a)Vérier queN3 1= 1déduire. EnN6=O;N=O. 383 (b) Montrerque siest valeur propre deNalors= 0. Etablir alors que 0 est la seule valeur propre deh. (c) Endéduire quefadmet 3 pour unique valeur propre. (d) Déterminerune base et la dimension du sous-espace propre defassocié à la valeur propre 3. (e) Lendomorphismefest-il diagonalisable ?est il bijectif ? 3 2. (a)On considère les vecteurs deR: u1= (1;1;1) ;u2=h(u1) ;u3=h(u2): Calculeru2etu3que. Vérierh(u3) = (0;0;0). 30 (b) Montrerque la famille(u1; u2; u3)est une base deR, quon noteraB: 0 0 (c) Déterminerla matriceNdehrelativement à la baseB: 0 0 (d) Montrerque la matrice defrelativement à la baseBest3I+N : 0 1 1 1 1 @ A On considère la matriceP=11 0. 1 21 0 1 3. (a)A laide des questions précédentes, montrer quePest inversible et queA=P(3I+N)P. (b) Soitnun entier naturel supérieur ou égal à deux. n0n1 b1. MontrerqueA=P(3I+N)P. 03 b2. Justierque(N) =O. 0n0 02 En déduire trois réelsan; bn; cntels que(3I+N) =anI+bnN+cn(N). n2 b3. MontrerqueA=anI+bnN+cnN.
EXERCICE 2 On considère la fonction de deux variablesfdénie sur louvertU=]0; +1[]0; +1[par : 2 f((x; y)) =xlnyylnx
2 1. Onnotegla fonction dénie sur]0; +1[parg(t) = 4t2tlnt1.
20 00 (a) MontrerquegestCsur son domaine et calculerg(t)etg(t)pourt >0. 0 (b) Etudierles variations degsur]0; +1[puis celle degsur]0; +1[. (On précisera à chaque fois les limites aux bornes)
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(c) Endéduire que léquationg(t) = 0admet une unique solution notée. 1 (d) Vérierque :ln= 22
2 2. (a)Montrer quefestCsurU. (b) Calculerles dérivées partielles dordre 1 def. 2 (x0) (c) Endéduire que si(x0; y0)est un point critique def, alorsx0>1ety0=. lnx0 (d) Etabliralors queg(lnx0) = 0.   2e En déduire quefpossède un unique point critique notéM, de coordonnéese ;est le réel déni au 1.(c).
3. (a)Calculer les dérivées partielles dordre 2 def. y02 (b) Enutilisant la relation de la question 1.(d) , montrer que2 lny0+ =. 2 (x0)En déduire que la fonctionfne présente pas dextremum. ( 36 h(t) =f(t; t)lorsquet2]0; 1] 4. Ondénit surRlapplicationhtelle que 5 h(t) = 0lorsquet60out >1
(a) Montrerquehest continue surR. 1 Z k (b) Soitkun entier naturel non nul etaun réel de]0; 1]. Calculertlnt dt. a 1 Z 1 k En déduire que lintégraletlnt dtexiste et vaut. 2 (k+ 1) 0 (c) Montrerque pour tout réeltde]0; 1],(t1) lnt>0. En déduire quehest positive surR. (d) Montrerquehest une densité de probabilité.
EXERCICE 3 Une urne contient initialement deux boules rouges et une boule bleue indiscernables au toucher. On appelle " épreuve " la séquence suivante : On tire une boule de lurne, puis : Si la boule tirée est bleue , on la remet dans lurne.
boule tirée est rouge , on ne la remet pas dans lurne mais on remet une boule bleue dans lurne à saSi la place.
Lexpérience aléatoire consiste à e¤ectuer une succession illimitée dépreuves. Pour tout entier naturelnnon nul , on noteYnla variable aléatoire discrète égale au nombre de boules rouges présentes dans lurne à lissue de lan- ième épreuve. On notera pour chaque entier naturelknon nul les événements suivants : Rk:" Lors de lak"-ième épreuve on a extrait une boule rouge de lurne. Bk:" Lors de lak-ième épreuve on a extrait une boule bleue de lurne."
1. Donnerla loi de probabilité deY1.
2. Quellessont les valeurs possibles deYndans le cas oùnest supérieur ou égal à 2 ?
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3. Calculerpour tout entier naturel non nuln,P(Yn= 2). 4. Onpose pour tout entier naturel non nuln,un=P(Yn= 1). 2 (a) Rappelerla valeur deu1et montrer queu2=. 3 (b) Enutilisant un système complet dévénements lié à la variableYn, montrer que pour tout entier naturel n>2, 2 2 un+1=un+: n+1 3 3 Cette relation reste-t-elle valable lorsquen= 1? 2 (c) Onpose pour tout entier naturelnnon nulvn=un+. n 3 Montrer que la suite(v)est géométrique. n n2N En déduirevnen fonction denet dev1, 2 2 n Etablir enn que pour tout entier naturel non nuln,un= 2( ). n 3 3 (d) Déduiredes résultats précédentsP(Yn= 0)pour tout entier naturel non nuln. 5. Calculerlespérance deYn. 6. OnnoteZla variable aléatoire égale au numéro de lépreuve amenant la dernière boule rouge.
(a) DonnerZ(). (b) Soitkun entier supérieur ou égal à 2. Exprimer lévénement(Z=k)en fonction des variablesYketYk1. (c) Endéduire la loi deZ.
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